Homomorfizmy

[Martin Sleziak]

Na tejto písomke boli také pomerne štandardné príklady homomorfizmov.

Pripomeňme, že ak máme dve grupy $(G,*)$ a $(H,\circ)$, tak zobrazenie $f\colon G\to H$ je (grupový) homomorfimus, ak platí
$$(\forall x,y\in G) f(x*y)=f(x)\circ f(y).$$

Vo všetkých skupinách berieme ako zadané, že ide skutočne o grupy, takže to už kontrolovať nebudeme.
(Je pomerne ľahké skontrolovať aj to, že ide skutočne o zobrazenie z $G$ do $H$, tomu sa takisto nebudeme venovať.)

Zadanie:

Zistite, či je zadané zobrazenie grupovým homomorfizmom. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
\begin{gather*}
f\colon(\mathbb R,+) \to (\mathbb R^+,\cdot)\\
f\colon x\mapsto e^x
\end{gather*}

Riešenie:
$$f(x+y)=e^{x+y}=e^x\cdot e^y=f(x)\cdot f(y)$$

Zadanie:

Zistite, či je zadané zobrazenie grupovým homomorfizmom. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
\begin{gather*}
f\colon(\mathbb R^+,\cdot) \to (\mathbb R,+)\\
f\colon x\mapsto \ln x
\end{gather*}

Riešenie:
$$f(x\cdot y)=\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y = f(x)+f(y)$$

Môžeme si všimnúť, že v oboch skupinách sme dostali bijektívny homomorfizmus, teda grupy $(\mathbb R^+,\cdot)$ a $(\mathbb R,+)$ sú izomorfné.

Zadanie:

Zistite, či je zadané zobrazenie grupovým homomorfizmom. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
\begin{gather*}
f\colon (\mathbb R\setminus\{0\},\cdot) \to (\mathbb R^+,\cdot)\\
f\colon x\mapsto |x|
\end{gather*}

Riešenie:
$$f(x\cdot y)=|x\cdot y|=|x|\cdot|y|=f(x)\cdot f(y)$$

Môžeme sa pozrieť, čo na základe vety o izomorfizme dostaneme v tomto prípade. (Aj keď toto už nebolo súčasťou úlohy.)

Pre tento homomorfizmus máme $\operatorname{Ker}f=\{\pm1\}$. Súčasne je to surjektívny homomorfizmus.
Dostávame (z vety o izomorfizme), že $$\mathbb R\setminus\{0\}/\{\pm 1\}\cong \mathbb R^+.$$
Pripomeniem, že zobrazenie definované predpisom $x\mapsto|x|$ je homomorfizmus aj z $(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ do $(\mathbb R^+,\cdot)$. Príslušná faktorová grupa je jedným z príkladov, ktoré máte tu: http://msleziak.com/vyuka/2019/lag/faktorove.pdf (Jadro v tomto prípade bude jednotková kružnica.)

Zadanie:

Zistite, či je zadané zobrazenie grupovým homomorfizmom. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
\begin{gather*}
f\colon (\mathbb R\setminus\{0\},\cdot) \to (\mathbb R^+,\cdot)\\
f\colon x\mapsto x^2
\end{gather*}

Riešenie:
$$f(x)\cdot f(y)=x^2\cdot y^2=(x\cdot y)^2=f(x\cdot y)$$

[Martin Sleziak]

Komentáre k riešeniam z písomiek:

Ak chceme overiť, či zobrazenie $f$ je homomorfizmus, tak potrebujeme zistiť či rovnosť $f(x*y)=f(x)\colon f(y)$ platí pre všetky $x,y\in G$.
Na zdôvodnenie, že je to homomorfizmus, nestačí vyskúšať nejaké konkrétne hodnoty $x$, $y$.
(Ak nájdeme nejaké konkrétne hodnoty $x$, $y$ pre ktoré táto rovnosť neplatí, to úplne stačí ako kontrapríklad. Ak sme ale vyskúšali nejaké hodnoty a pre ne uvedená rovnosť platí, to nám ešte nezaručuje, že bude platiť vždy.)

Rovnosť $|xy|=|x|\cdot|y|$ som bral tak, že to patrí medzi základné vlastnosti absolútnej hodnoty, ktoré už poznáme zo strednej školy - takže ju nebolo treba zdôvodňovať.
Niektorí ste uviedli aj niečo k zdôvodneniu tejto rovnosti. Niektoré z vecí čo tam boli, sa mi moc nepozdávali - ale vlastne na toto som sa nepýtal, takže za problémy s touto časťou som body nestrhával.

V niektorých písomkách som našiel zápisy ako napríklad

• $f(\ln(xy))=f(\ln x)+f(\ln y)$
• $f(e^{x_1}+e^{x_2})=e^{x_1+x_2}$
• $f(\ln x)=f(x)f(\ln x)$

Priznám sa, že často som si nie celkom istý, čo sa tým chce povedať.
Možno v niektorých prípadoch ide o nepochopenie toho, čo sa vlastne robí.
Možné je to, že chcete týmito zápismi povedať niečo, čo v skutočnosti platí, ale používate ich nesprávne. (T.j. zapísali ste niečo iné, než sa snažíte vyjadriť.)

Skúsim detailne rozobrať jednu z funkcií, ktoré sa tu vyskytli.
Ak mám funkciu definovanú ako $f(x)=e^x$, tak to znamená, že ak na vstupe dostaneme nejaké číslo, tak funkcia vracia $e$ umocnené na toto číslo. Vstup môže vyjsť aj ako výsledok komplikovanejšieho výrazu, napríklad:

• $f(|x|)=e^{|x|}$
• $f(-x)=e^{-x}$
• $f(x^2+y^2)=e^{x^2+y^2}$

Špeciálne, ak overujeme či ide o homomorfizmus tak sa pozeráme na $f(x+y)$. To znamená, že do tejto funkcie namiesto premennej $x$ máme dosadiť výraz $x+y$ a dostaneme
$$f(x)=e^{x+y}.$$
Podobne to funguje pri ostatných funkciách, ktoré sa vyskytli v iných skupinách.