10. prednáška (23. 11. 2020)
Význam matice zobrazenia $A_f$ pre lineárne zobrazenie $f\colon F^m\to F^n$, násobenie vektor krát matica, t.j. $\alpha A$ pre $\alpha\in F^m$ a súvis s obrazom $f(\alpha)$ pre maticu $A=A_f$. Každá matica je matica nejakého lin, zobrazenia.
Súvis matice zobrazenia so základnou vetou o lineárnych zobrazeniach. Algoritmus na výpočet/nájdenie matice lin. zobrazenia.
Súčin matíc (matica kompozície dvoch lineárnych zobrazení, aj pomocou "vzorca" $c_{ij}=\sum_{l=1}^na_{il}b_{lj}$).
Prenášky ZS 2020/2021
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, davidwilsch, jaroslav.gurican
-
jaroslav.gurican
- Posts: 212
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prenášky ZS 2020/2021
11. prednáška (30. 11. 2020)
Vlastnosti násobenia matíc (asociativita, distributivita, jednotkova matica ako neutrálny prvok, transponovanie súčinu).
Injektitiva a surjektivita lineárneho zobrazenia. Izomorfizmus medzi vektorovými priestormi (zobrazenie), izomomorfizmus dvoch vekt. priestorov (nad daným poľom $F$). Vzťah medzi izomorfizmom a dimenziou, každý $n$ rozmerný v.p. nad poľom $F$ je izomorfný s $F^n$ (čiže priestory $n$-tíc $F^n$ sú v podstate akýsi "etalón" medzi priestormi dimenzie $n$).
Inverzná matica ku štvorcovej matici. Regulárna/singulárna matica, vzťah medzi regulárnosťou matice a existenciou inverznej matice.
Vlastnosti násobenia matíc (asociativita, distributivita, jednotkova matica ako neutrálny prvok, transponovanie súčinu).
Injektitiva a surjektivita lineárneho zobrazenia. Izomorfizmus medzi vektorovými priestormi (zobrazenie), izomomorfizmus dvoch vekt. priestorov (nad daným poľom $F$). Vzťah medzi izomorfizmom a dimenziou, každý $n$ rozmerný v.p. nad poľom $F$ je izomorfný s $F^n$ (čiže priestory $n$-tíc $F^n$ sú v podstate akýsi "etalón" medzi priestormi dimenzie $n$).
Inverzná matica ku štvorcovej matici. Regulárna/singulárna matica, vzťah medzi regulárnosťou matice a existenciou inverznej matice.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 212
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prenášky ZS 2020/2021
12. prednáška (7. 12. 2020)
Systémy (sústavy) lineárnych rovníc nad poľom. Homogénne systémy. Báza (štandardná) podpriestoru riešení homogénneho systému (lin. rovníc) - vektory, ktoré sme na prednáške označili ako $\gamma_{r+1},\ldots,\gamma_n$.
Každý podpriestor priestoru $F^n$ je množinou všetkých riešení nejakého systému lin. rovníc - veta 5.7.11 (na prednáške sme nerobili formálny dôkaz, ale na viacerých príkladoch sme vysvetlili, ako to funguje - algoritmus, ako pre podpriestor generovaný konkrétnou množinou vektorov ten systém nájsť a prečo ten postup, algoritmus funguje). Dôkaz tejto vety nebudem štandardne skúšať, ale pri ľuďoch, ktorí by v rámci "ústnej" skúšky ašpirovali na hodnotenie A alebo B budem očakávať, že ten dôkaz vedia.
Systémy (sústavy) lineárnych rovníc nad poľom. Homogénne systémy. Báza (štandardná) podpriestoru riešení homogénneho systému (lin. rovníc) - vektory, ktoré sme na prednáške označili ako $\gamma_{r+1},\ldots,\gamma_n$.
Každý podpriestor priestoru $F^n$ je množinou všetkých riešení nejakého systému lin. rovníc - veta 5.7.11 (na prednáške sme nerobili formálny dôkaz, ale na viacerých príkladoch sme vysvetlili, ako to funguje - algoritmus, ako pre podpriestor generovaný konkrétnou množinou vektorov ten systém nájsť a prečo ten postup, algoritmus funguje). Dôkaz tejto vety nebudem štandardne skúšať, ale pri ľuďoch, ktorí by v rámci "ústnej" skúšky ašpirovali na hodnotenie A alebo B budem očakávať, že ten dôkaz vedia.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 212
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prenášky ZS 2020/2021
13. prednáška (14. 12. 2020)
Nehomogénne systémy lin. rovníc (nad poľom). Hodnosť matiíc $A$ a $A^T$ je rovnaká. Frobeniova veta (kedy je nehom. systém lin. rovníc riešiteľná). Tvar množiny riešení (riešiteľného) nehomogénneho systému lin. rovníc ($\alpha+S$, kde $\alpha$ je jedno riešenie nehomogénneho systému a $S$ je množina riešení "príslušného" homogénneho systému riešení).
Samoštúdium č. 2: časť "Jadro a obraz lin. zobrazenia" - v podstate jediná nová veta tu je veta 5.8.7. Chcen, aby ste túto vetu poznali, jej dôkaz budem skúšať len počas ústnej skúšky ľudí, ktorí by ašpirovali na hodnotenie A alebo B.
Samoštúdium č. 3: Determinanty: chcem, aby ste rozumeli definícii, aby ste vedeli počítať determinanty (Sarrusovo pravidlo pre 3x3, počítanie pomocou elementárnych riadkových operácií - vety 6.3.5, 6.3.9, 6.3.10, ale aj 6.3.6-6.3.8, 6.3.11, 6.3.12, počítanie pomocou Laplaceovho rozvoja - podľa niektorého riadku, prípadne stĺpca).
Determinant súčinu matíc je súčin determinantov jednotlivých matíc ($|AB|=|A|\cdot|B|$).
Aplikácie determinantov: výpočet inverznej matice pre regulárne matice, riešenie nehomogénneho systému (regulárneho) lin. systému pomocou Cramerovho pravidla.
Dôkazy z časti "Determinanty" nebudem skúšať.
Nehomogénne systémy lin. rovníc (nad poľom). Hodnosť matiíc $A$ a $A^T$ je rovnaká. Frobeniova veta (kedy je nehom. systém lin. rovníc riešiteľná). Tvar množiny riešení (riešiteľného) nehomogénneho systému lin. rovníc ($\alpha+S$, kde $\alpha$ je jedno riešenie nehomogénneho systému a $S$ je množina riešení "príslušného" homogénneho systému riešení).
Samoštúdium č. 2: časť "Jadro a obraz lin. zobrazenia" - v podstate jediná nová veta tu je veta 5.8.7. Chcen, aby ste túto vetu poznali, jej dôkaz budem skúšať len počas ústnej skúšky ľudí, ktorí by ašpirovali na hodnotenie A alebo B.
Samoštúdium č. 3: Determinanty: chcem, aby ste rozumeli definícii, aby ste vedeli počítať determinanty (Sarrusovo pravidlo pre 3x3, počítanie pomocou elementárnych riadkových operácií - vety 6.3.5, 6.3.9, 6.3.10, ale aj 6.3.6-6.3.8, 6.3.11, 6.3.12, počítanie pomocou Laplaceovho rozvoja - podľa niektorého riadku, prípadne stĺpca).
Determinant súčinu matíc je súčin determinantov jednotlivých matíc ($|AB|=|A|\cdot|B|$).
Aplikácie determinantov: výpočet inverznej matice pre regulárne matice, riešenie nehomogénneho systému (regulárneho) lin. systému pomocou Cramerovho pravidla.
Dôkazy z časti "Determinanty" nebudem skúšať.