Harmonický rad a rad $\sum\frac1{n^2}$

[Martin Sleziak]

Pri dôkaze, že rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje, prišla reč aj na harmonický rad a na prevrátený rad štvorcov.
Sú to síce zrejme veci, ktoré už viete, ale aj tak pridám nejaké linky.

Môžete sa pozrieť na to, že harmonický rad diverguje. A tiež že čiastočné súčty rastú zhruba ako logaritmus v tom zmysle, že existuje limita postupnosti $H_n-\ln n$. (Toto tvrdenie je dokázané aj v texte v prednáške - v dodatku.)

• Wikipédia: Harmonic series a Euler–Mascheroni constant
• Why does the series $\sum_{n=1}^\infty\frac1n$ not converge?
• Simple proof Euler–Mascheroni $\gamma$ constant

O rade $\sum\frac1{n^2}$ by ste mali vedieť ukázať, že konverguje. Pripomeniem, že nejaké odkazy na dôkazy, že súčet tohoto radu je $\pi^2/6$ som pozbieral tu: viewtopic.php?t=65
Dokonca by ste niečo mohli byť schopní povedať o konvergencii $\sum\frac1{n^p}$ v závislosti od exponentu $p$.

• Need to prove the sequence $a_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}$ converges
• Self-Contained Proof that $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1{n^p}$ Converges for $p > 1$