21.4 - dekanské voľno (ŠVK)
10. prednáška (28.4.)
Kardinálna aritmetika. Ukázali sme, že pre nekonečné kardinály platí $\kappa\cdot\kappa=\kappa$. (T.j. pre každú nekonečnú množinu platí $|A\times A|=|A|$.)
Pritom sme spomenuli, že existuje viacero spôsobov, ako sa dá definovať nekonečná množina, pričom v ZF nie sú nutne ekvivalentné. Wikipédia: Dedekind-infinite set a Finite set § Set-theoretic definitions of finiteness
Definícia ordinálov v ZFC. Stručne sme spomenuli, že ordinály sa dajú definovať aj v ZFC - najčastejšia je von Neumannova definícia ordinálov: viewtopic.php?t=1175
Spomenuli sme, že ak chceme pracovať v axiomatickom systéme ako ZFC, tak veci môžu vyzerať o čosi komplikovanejšia, ako keď ich formulujeme v prirodzenom jazyku - ako príklad sme spomenuli definíciu usporiadanej dvojice.
Potom sme ešte stručne prešli čo sú veci, ktorými by sme sa mohli zaoberať vo zvyšku semestra.
Apliktm - prednášky LS 2020/21
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Apliktm - prednášky LS 2020/21
11. prednáška (5.5.)
Skoro disjunktné systémy.
Definícia AD-sytému a MAD-systému. Každý AD-systém je obsiahnutý v MAD-systéme (dôkaz sme preskočili). MAD-systém nemôže byť spočítateľný.
Ukázali sme pomocou postupností racionálnych čísel, že na spočítateľnej množine existuje AD-systém kardinality $\mathfrak c$. Niečo k iným možnostiam dôkazu sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=788
Hamelova báza. Definícia bázy v nekonečnorozmerných priestorov. (Vo vektorovom priestore pracujeme iba s konečnými lineárnymi kombináciami - na rozdiel od Schauderovej bázy, ktorá sa dá definovať ak máme k dispozícii aj konvergenciu.)
Spomenuli sme základné fakty (bez dôkazu): Každá lineárne nezávislá množina je obsiahnutá v nejakej báze. Ľubovoľné dve bázy majú rovnakú kardinalitu.
Ako príklad sme si ukázali, že $\dim(c_{00})=\aleph_0$. Bez dôkazu sme spomenuli $\dim(\mathbb R^{\mathbb N})=\mathbb c$. (Toto je ako cvičenie v texte k prednáške, kde sú k tomu aj nejaké hinty. Jeden z možných dôkazov využíva skoro disjunktné systémy.)
Dimenzia Banachových priestorov.
Nestihol som spraviť to, ako sa pomocou Baireovej vety o kategórii dá ukázať, že Hamelova dimenzia BP musí byť nespočítateľná. Dôkaz sa dá pozrieť napríklad tu: Let $X$ be an infinite dimensional Banach space. Prove that every Hamel basis of X is uncountable.. (Každopádne BCT je dôležité tvrdenie, ktoré má aj ďalšie aplikácie - niektoré sú spomenuté tu: viewtopic.php?t=856 Takže takéto niečo je asi celkom užitočné cvičenie.)
Ukázali sme však (pomocou AD systémov), že dimezia určite bude aspoň $\mathfrak c$, pozri aj linky tu: viewtopic.php?t=800
Skoro disjunktné systémy.
Definícia AD-sytému a MAD-systému. Každý AD-systém je obsiahnutý v MAD-systéme (dôkaz sme preskočili). MAD-systém nemôže byť spočítateľný.
Ukázali sme pomocou postupností racionálnych čísel, že na spočítateľnej množine existuje AD-systém kardinality $\mathfrak c$. Niečo k iným možnostiam dôkazu sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=788
Hamelova báza. Definícia bázy v nekonečnorozmerných priestorov. (Vo vektorovom priestore pracujeme iba s konečnými lineárnymi kombináciami - na rozdiel od Schauderovej bázy, ktorá sa dá definovať ak máme k dispozícii aj konvergenciu.)
Spomenuli sme základné fakty (bez dôkazu): Každá lineárne nezávislá množina je obsiahnutá v nejakej báze. Ľubovoľné dve bázy majú rovnakú kardinalitu.
Ako príklad sme si ukázali, že $\dim(c_{00})=\aleph_0$. Bez dôkazu sme spomenuli $\dim(\mathbb R^{\mathbb N})=\mathbb c$. (Toto je ako cvičenie v texte k prednáške, kde sú k tomu aj nejaké hinty. Jeden z možných dôkazov využíva skoro disjunktné systémy.)
Dimenzia Banachových priestorov.
Nestihol som spraviť to, ako sa pomocou Baireovej vety o kategórii dá ukázať, že Hamelova dimenzia BP musí byť nespočítateľná. Dôkaz sa dá pozrieť napríklad tu: Let $X$ be an infinite dimensional Banach space. Prove that every Hamel basis of X is uncountable.. (Každopádne BCT je dôležité tvrdenie, ktoré má aj ďalšie aplikácie - niektoré sú spomenuté tu: viewtopic.php?t=856 Takže takéto niečo je asi celkom užitočné cvičenie.)
Ukázali sme však (pomocou AD systémov), že dimezia určite bude aspoň $\mathfrak c$, pozri aj linky tu: viewtopic.php?t=800
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Apliktm - prednášky LS 2020/21
12. prednáška (12.5.)
Kőnigova lema
Sformulovali sme základné pojmy týkajúce sa nekonečných stromov. Dokázali sme Kőnigovu lema. (Chvíľu sme potom rozprávali aj o tom, že Kőnigova lema sa nedá dokázať v ZF. Náš dôkaz využíval axiómu výberu - v indukčnom kroku sme vyberali nejaký prvok, takže máme nekonečne veľa výberov.)
Pomocou Kőnigovej lemy sme dokázali nekonečnú verziu Ramseyovej vety. (Dôkaz, že z nej vyplýva konečná verzia sme preskočili - v texte s poznámkami je tento dôkaz nedokončený, spomeniem, že sa dá nájsť ako Corollary 2.3 v Halbeisen: Combinatorial Set Theory.
Kőnigova lema
Sformulovali sme základné pojmy týkajúce sa nekonečných stromov. Dokázali sme Kőnigovu lema. (Chvíľu sme potom rozprávali aj o tom, že Kőnigova lema sa nedá dokázať v ZF. Náš dôkaz využíval axiómu výberu - v indukčnom kroku sme vyberali nejaký prvok, takže máme nekonečne veľa výberov.)
Pomocou Kőnigovej lemy sme dokázali nekonečnú verziu Ramseyovej vety. (Dôkaz, že z nej vyplýva konečná verzia sme preskočili - v texte s poznámkami je tento dôkaz nedokončený, spomeniem, že sa dá nájsť ako Corollary 2.3 v Halbeisen: Combinatorial Set Theory.