Page 1 of 1

Ďalšie koeficienty charakteristického polynómu

Posted: Mon May 03, 2021 3:20 pm
by Martin Sleziak
O charakteristickom polynóme vieme, že vedúci koeficient je rovný $1$. A tiež poznáme dva ďalšie koeficienty, ktoré sa až na znamienko rovnajú stope/determinantu: viewtopic.php?t=642

Možno človeku vcelku prirodzene napadne otázka, akým spôsobom sa dajú ostatné koeficienty vyjadriť pomocou jednotlivých prvkov matice $A$.
Bez dôkazu aspoň spomeniem, že koeficient $c_{n-k}$ pri $x^{n-k}$ sa dá vyjadriť ako súčet determinantov podmatíc rozmerov $k\times k$, pričom vyberáme tie isté riadky a stĺpce, vynásobený $(-1)^k$.
Môžeme si všimnúť, že to sedí s tým, čo sme povedali o dvoch koeficientov - raz sme mali determinant celej matice, čo je jediná podmatica $n\times n$; takisto stopu dostaneme ako súčet determinantov vhodných podmatíc $1\times1$.

Pridám sem aspoň nejaké konkrétne príklady, aby bolo jasnejšie, čo vlastne tvrdíme. (Súčasne z tohoto príkladu vidíme, že pre väčšie rozmery toto asi nie je veľmi praktický spôsob, ako počítať charakteristický polynóm. Ale je azda zaujímavé niečo takéto vidieť - ak sa človek dozvie o takomto tvrdení, tak asi prirodzené veci, ktoré bude skúšať, sú otestovať to na nejakých príkladoch, rozmýšľať nad tým, či sa to dá na niečo užitočné použiť, a tiež na tým, prečo to platí a ako by sa to dalo dokázať.)

Nejaké odkazy, kde sa dá nájsť dôkaz:

Re: Ďalšie koeficienty charakteristického polynómu

Posted: Mon May 03, 2021 3:21 pm
by Martin Sleziak
Vyskúšajme to pre nejakú maticu rozmerov $3\times3$.

$$A=\begin{pmatrix}
3 & 2 &-3 \\
-1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$$

Máme $\operatorname{Tr}(A)=3+2+1=6$, a teda $c_2=-6$.

Ak obvyklým spôsobom vypočítame $\det(A)=8$, tak máme $c_0=-8$.

Pri výpočte zostávajúceho koeficientu takýmto spôsobom potrebujeme vyrátať tri determinanty $2\times2$

\begin{align*}
c_1&=
\begin{vmatrix}
3 & 2 \\
-1 & 2 \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
3 &-3 \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{vmatrix}\\
&=8+3+1=12
\end{align*}

Dostali sme teda $$\chi_A(t)=t^3-6t^2+12t-8.$$
Môžete si skontrolovať, že to tak vyjde napríklad na WolframAlpha alebo obvyklým spôsobom výpočtu.
Spoiler:
$\chi_A(t)=\begin{vmatrix}
t-3&-2 & 3 \\
1 &t-2&-1 \\
0 &-1 &t-1\\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
t-3&-2 &t-2 \\
1 &t-2&t-2\\
0 &-1 &t-2\\
\end{vmatrix}=$ $
(t-2)\begin{vmatrix}
t-3&-2 & 1 \\
1 &t-2& 1 \\
0 &-1 & 1 \\
\end{vmatrix}=$ $
(t-2)\begin{vmatrix}
t-3&-1 & 1 \\
1 &t-1& 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}=$ $
(t-2)(t^2-4t+4)=$ $(t-2)^3
$

$\chi_A(t)=\begin{vmatrix}
t-3&-2 & 3 \\
1 &t-2&-1 \\
0 &-1 &t-1\\
\end{vmatrix}=$ $
(t-3)(t-2)(t-1)-3-(t-3)+2(t-1)=$ $
(t-3)(t-2)(t-1)+t-2=$ $
(t-2)[(t-3)(t-1)+1]=$ $
(t-2)(t^2-4t+4)=(t-2)^3$

Re: Ďalšie koeficienty charakteristického polynómu

Posted: Mon May 03, 2021 3:23 pm
by Martin Sleziak
Skúsme ísť ešte o krok ďalej a vyskúšajme to s nejakou maticou rozmerov $4\times4$.

$$A=
\begin{pmatrix}
0 &-1 &-1 & 2 \\
-3 &-1 &-1 & 3 \\
1 & 0 & 2 &-1 \\
-2 &-2 &-1 & 4 \\
\end{pmatrix}
$$

Dostaneme $\operatorname{Tr}(A)=-1+2+4=5$ a teda $c_3=-5$.
Takisto nie je ťažké spočítať $c_0=|A|=2$.
Spoiler:
$|A|=
\begin{vmatrix}
0 &-1 &-1 & 2 \\
-3 &-1 &-1 & 3 \\
1 & 0 & 2 &-1 \\
-2 &-2 &-1 & 4 \\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
0 &-1 &-1 & 2 \\
-3 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2 &-1 \\
-2 & 0 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
-3 & 0 & 1 \\
1 & 2 &-1 \\
-2 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
-3 & 0 & 1 \\
-2 & 2 & 0 \\
-2 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
-2 & 2 \\
-2 & 1 \\
\end{vmatrix}=2$
Ak $c_2$ chceme počítať takýmto spôsobom, potrebujeme šesť determinantov matíc $2\times2$
\begin{align*}
c_2&=
\begin{vmatrix}
0 &-1 \\
-3 &-1 \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
0 &-1 \\
1 & 2 \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
0 & 2 \\
-2 & 4 \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
-1 &-1 \\
0 & 2 \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
-1 & 3 \\
-2 & 4 \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
2 &-1 \\
-1 & 4 \\
\end{vmatrix}\\
&=-3+1+4-2+2+7=9
\end{align*}

Pri výpočet $c_1$ potrebujeme štyri determinanty rozmerov $3\times3$:
\begin{align*}
-c_1&=
\begin{vmatrix}
0 &-1 &-1 \\
-3 &-1 &-1 \\
1 & 0 & 2 \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
0 &-1 & 2 \\
-3 &-1 & 3 \\
-2 &-2 & 4 \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
0 &-1 & 2 \\
1 & 2 &-1 \\
-2 &-1 & 4 \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
-1 &-1 & 3 \\
0 & 2 &-1 \\
-2 &-1 & 4 \\
\end{vmatrix}\\
&=-6+2+8+3=7
\end{align*}
a teda $c_1=-7$
Spoiler:
$\begin{vmatrix}
0 &-1 &-1 \\
-3 &-1 &-1 \\
1 & 0 & 2 \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
0 &-1 &-1 \\
0 &-1 & 5 \\
1 & 0 & 2 \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
-1 &-1 \\
-1 & 5 \\
\end{vmatrix}=-6
$

$\begin{vmatrix}
0 &-1 & 2 \\
-3 &-1 & 3 \\
-2 &-2 & 4 \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
0 &-1 & 2 \\
-3 & 0 & 1 \\
-2 & 0 & 0 \\
\end{vmatrix}=2
$

$\begin{vmatrix}
0 &-1 & 2 \\
1 & 2 &-1 \\
-2 &-1 & 4 \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
0 &-1 & 2 \\
1 & 2 &-1 \\
-2 & 0 & 2 \\
\end{vmatrix}=
2\begin{vmatrix}
0 &-1 & 2 \\
1 & 2 &-1 \\
-1 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}=
2\begin{vmatrix}
0 &-1 & 2 \\
0 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}=
4\begin{vmatrix}
0 & 2 \\
-1 & 1 \\
\end{vmatrix}=8
$

$\begin{vmatrix}
-1 &-1 & 3 \\
0 & 2 &-1 \\
-2 &-1 & 4 \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
-1 &-1 & 3 \\
0 & 2 &-1 \\
-1 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
0 &-1 & 2 \\
0 & 2 &-1 \\
-1 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}=
-\begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
2 &-1 \\
\end{vmatrix}=
-\begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
2 &-1 \\
\end{vmatrix}=3
$
Vyšlo nám
$$\chi_A(t)=t^4-5t^3+9t^2-7t+2$$

Opäť môžeme charakteristický polynóm vypočítať aj spôsobom na akým sme zvyknutí a skontrolovať, že to vyšlo rovnako. Alebo sa pozrieť na WolframAlpha, prípadne vyskúšať nejaký softvér, ktorý vie takéto veci rátať.
Spoiler:
$\begin{vmatrix}
t & 1 & 1 &-2 \\
3 &t+1& 1 &-3 \\
-1 & 0 &t-2& 1 \\
2 & 2 & 1 &t-4\\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
t & 1 & 1 & 0 \\
3 &t+1& 1 &t-1\\
-1 & 0 &t-2&t-1\\
2 & 2 & 1 &t-1\\
\end{vmatrix}=
(t-1)\begin{vmatrix}
t & 1 & 1 & 0 \\
3 &t+1& 1 & 1 \\
-1 & 0 &t-2& 1 \\
2 & 2 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}=
(t-1)\begin{vmatrix}
t & 1 & 1 & 0 \\
1 &t-1& 0 & 1 \\
-3 &-2 &t-3& 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}=
(t-1)\begin{vmatrix}
t & 1 & 1 \\
1 &t-1& 0 \\
-3 &-2 &t-3\\
\end{vmatrix}=
(t-1)\begin{vmatrix}
t & 1 & 0 \\
1 &t-1&1-t\\
-3 &-2 &t-1\\
\end{vmatrix}=
(t-1)^2\begin{vmatrix}
t & 1 & 0 \\
1 &t-1&-1\\
-3 &-2 & 1\\
\end{vmatrix}=
(t-1)^2\begin{vmatrix}
t & 1 & 0 \\
-2 &t-3& 0\\
-3 &-2 & 1\\
\end{vmatrix}=
(t-1)^2(t^2-3t+2)=
(t-1)^2(t-1)(t-2)=
(t-1)^3(t-2)
$

Tvar, ktorý nám tu vyšiel, sa hodí ak chceme nájsť korene. Teraz to ale chceme porovnať s koeficientami, ktoré vyšli pomocou minorov.
Po roznásobení dostaneme $\chi_A(t)=(t-2)(ť^3-3t^2+3t-1)=t^4-5t^3+9t^2-7t+2$