Prednášky ZS 2021/22 - všeobecná topológia

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. týždeň:

1. prednáška: (20.9.)
Úvod: Trochu som hovoril také úvodné a motivačné reči o tom, čo vlastne by ste tento semester na tomto predmete mohli počuť. V podstate sa to dá stručne zhrnúť tak, že:
* Veľa pojmov, ktoré poznáte pre metrické priestory budeme tu študovať pre topologické priestory, čo je všeobecnejšia štruktúra. (Medzi kľúčové pojmy patria spojitosť, konvergencia, kompaktnosť.)
* Stručne som naznačil ako sa pomocou sietí ukáže, že existuje nejaký prvok z $\ell_\infty^*\setminus\ell_1$ - s tým, že neskôr si ukážeme túto vec poriadne a dokonca viac spôsobmi. (A nejako som sa snažil naznačiť, že kompaktnosť nám môže často pomôcť dostať nejaký objekt z vhodných aproximácií.)

Pridám takúto linku, kde sa dá pozrieť aj na iné spôsoby ako zdôvodniť takúto vec: Dual of $l^\infty$ is not $l^1$. (Napríklad pomocou Hahn-Banachovej vety. Na tomto predmete nás ale viac bude zaujímať dôkaz, ktorý využíva kompaktnosť a konvergenciu sietí resp. filtrov.)

Topologické priestory. Definícia topologického priestoru. Pár jednoduchých príkladov: Diskrétny a indiskrétny priestor, Sierpińského priestor.
Uzavreté množiny, obojaké množiny. Kofinitná a kospočítateľná topológia.
Báza topológie. Definícia. Charakterizácia bázy topológie a generovanie topológie z bázy. Topológia odvodená od metriky, Sorgenfreyova priamka.

2. prednáška: (24.9.)
Mooreova rovina (Definoval som ju pomocou bázy topológie - nie pomocou bázy okolí, ako je to v texte.)
Báza okolí. Definícia. Systém otvorených množín $\mathcal B$ je báza p.v.k. pre každý bod určuje bázu okolí. Charakterizácie bázy okolí pozostávajúcej z otvorených množín a generovanie topológie z báz okolí.
Uzáver a vnútro. Definovali sme uzáver množiny, ukázali sme si ekvivalentný popis a ukázali nejaké základné vlastnosti. Bez dôkazu sme si povedali, aké podmienky musí spĺňať operátor uzáveru, aby sa z neho dala dostať topológia.
Zjednotenie uzáverov (a zjednotenie uzavretých množín) pre lokálne konečné systémy.
Vnútro množiny som iba zadefinoval a povedal v akom vzťahu je s uzáverom.
Husté množiny. Definícia hustej množiny a ekvivalentná charakterizácia. Pre hustú množinu $D$ a otvorenú množinu $U$ platí $\overline{U\cap D}=\overline U$. (Bez dôkazu.)
Separabilné priestory, prvá a druhá axióma spočítateľnosti. Zatiaľ sme stihli zadefinovať prvú a druhú axiómu spočítateľnosti. Ukázali sme, že z druhej axiómy spočítateľnosti vyplýva prvá a videli sme (na vcelku jednoduchých príkladoch), že obrátená implikácia neplatí.

[Martin Sleziak]

2. týždeň:

3. prednáška: (27.9.)
Separabilné priestory. Každý priestor so spočítateľnou bázou topológie je separabilný. Pre metrizovateľné priestory platí aj opačná implikácia. Niekoľko príkladov a kontrapríkladov: Sorgenfreyova priamka a Mooreova rovina sú separabilné (a súčasne nemajú spočítateľnú bázu topológie). Priestor $\ell_\infty$ nie je separabilný. Môžete skúsiť porozmýšľať aj o nejakých iných známych príkladoch Banachových priestorov: viewtopic.php?t=1583
Neskôr uvidíme faktorový priestor $\mathbb R/\mathbb Z$ ako príklad priestoru, ktorý je separabilný ale nevyhovuje druhej axióme spočítateľnosti.
Spojitosť. Spojitosť v bode, globálna spojitosť a charakterizácia cez vzor otvorenej množiny. Charakterizácia pomocou vzoru množiny z bázy resp. subbázy. (Súčasne som povedal niečo o pojme subbáza - na ten som zabudol počas predošlej prednášky.) Jednoduché príklady, zloženie dvoch spojitých zobrazení. Spojitosť vs. vzor uzavretej množiny, obraz uzáveru. Spojitý obraz separabilného priestoru je separabilný.
Stručne sme spomenuli, ako sa ukáže $f[\overline A]\subseteq \overline{f[A]}$ pre metrické priestory pomocou konvergencie postupností - a spomenuli, že podobný dôkaz sa dá urobiť v topologických priestoroch pomocou vecí, ktoré sa naučíme o sieťach.
Homeomorfizmy: Definícia homeomorfizmu, základné vlastnosti. Definícia topologickej vlastnosti, stručne o tom, čo to znamená, že dva topologické priestory sú homeomorfné. Niekoľko príkladov, kedy nejaké konkrétne priestory sú (nie sú) homeomorfné. Robil som najmä podpriestory $\mathbb R$ a $\mathbb R^2$; videli sme, kde sú homeomorfizmy medzi intervalmi, reálnou osou, kružnicou s jedným vynechaným bodom. Stručne som spomenul stereografickú projekciu, ktorá hovorí podobný výsledok pre n-rozmernú sféru. (T.j. že $S^n\setminus\{*\}\cong\mathbb R^n$.) Nerobil som však detailný dôkaz, že to je skutočne homeomorfizmus.
Otvorené a uzavreté zobrazenia. Definícia, súvis s homeomorfizmami.
Priestor $C(\omega)$, t.j. konvergentná postupnosť. Zadefinoval som topologický priestor $C(\omega)$ a ukázal, že je homeomorfný s priestorom $\{0\}\cup\{\frac1n; n\in\mathbb N\setminus\{0\}\}$ (s obvyklou euklidovskou metrikou).

4. prednáška: (30.9.)
Najhrubšia/najjemnejšia topológia s danou vlastnosťou. Rozmysleli sme si, že ak mám nejaký systém $\mathcal S$ topológii na množine $X$, tak existuje najjemnejšia (najväčšia) topológia obsiahnutá v každej topológii z $\mathcal S$ (tú dostanem ako prienik $\bigcap\mathcal S$) a najhrubšia topológia obsahujúca všetky topológie z $\mathcal S$. T.j. ak sa na topológie na $X$ pozerám ako na čiastočne upsoriadnú množinu s reláciou inklúzie, tak pre každý systém $\mathcal S$ existuje suprémum a infimum. (Toto sa dá povedať aj tak, že topológie na množine $X$ tvoria úplný zväz.)
Iniciálna a finálna topológia.$\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}\newcommand{\Invobr}[2]{\inv{#1}[#2]}$
Zadefinovali sme iniciálnu topológiu. Ukázali sme, že sa dá popísať pomocou subbázy $$\mathcal S=\{\Invobr {f_i}{U}; i\in I, U\in\mathcal T_i\}.$$ Ukázali sme si ako sa dajú popísať spojité zobrazenia do priestoru s iniciálnou topológiou.
Zadefinovali sme finálnu topológiu. Videli sme, že táto topológia sa rovná $$\mathcal T=\{U\subseteq X; (\forall i\in I)\Invobr{f_i}{U}\in\mathcal T_i\}.$$ Ukázali sme si ako sa dajú popísať spojité zobrazenia z priestoru s finálnou topológiou.

Faktorové zobrazenia a faktorové priestory.
Zadefinovali sme faktorové zobrazenie. (Videli sme, že to je veľmi jednoduchý prípad finálnej topológie - ak máme iba jedno zobrazenie.)
Trochu sme sa pozreli na to, ako to súvisí s reláciami ekvivalencie.
Príklady (kružnica, valec a tórus, Möbiov pásik, Kleinova fľaša.)
Vlastnosti faktorových zobrazení: Spojitosť, vzor uzavretej, skladanie. Otvorená (uzavretá) spojitá surjekcia je faktorové zobrazenie.
Priestor $\mathbb R/\mathbb Z$ ako príklad priestoru, ktorý je separabilný ale nespĺňa prvú axiómu spočítateľnosti.

[Martin Sleziak]

3. týždeň:

5. prednáška: (4.10.)
Podpriestory.
Definícia podpriestoru, báza, subbáza, uzáver v podpriestore, podpriestor metrického priestoru. Zmena oboru/koooboru a spojitosť.
Definícia vloženia a niektoré vlastnosti vložení. (Videli sme, že to je špeciálny prípad iniciálnej topológie.)
Prvá a druhá axióma spočítateľnosti sa dedia na podpriestory. Moorova rovina je príklad ukazujúci, že podpriestor separabilného priestoru nemusí byť separabilný.
Spojitosť na množinách z otvoreného pokrytia (z lokálne konečného uzavretého pokrytia) implikuje uzavretosť na celom priestore.

Topologický súčin.
Definícia karteziánskeho súčinu (nekonečne veľa) množín, projekcie, označenia pre zobrazenia do súčinu.
Súčin sme zaviedli ako iniciálnu topológiu vzhľadom na projekcie - z toho sme dostali popis subbázy a aj charakterizáciu pre spojité zobrazenia do súčinu. (A ako dôsledok výsledok o spojitosti zobrazení $\langle f_i\rangle$ a $\prod f_i$.)
Projekcia je otvorené spojité zobrazenie. (Vo všeobecnosti nemusí byť uzavretá.)
Box topology - keby sme zobrali bázu, kde by sme brali otvorené podmnožiny pre každý index (nie iba konečne veľa), tak by sme dostali inú topológiu na súčine, ktorá už nemá také pekné vlastnosti.
Ukázali sme, že súčin $\mathfrak c$ separabilných priestorov je separabilný (Hewitt-Marczewski-Pondiczery theorem). (Podstatná časť dôkazu bola ukázať toto tvrdenie pre súčin $\mathfrak c$ spočítateľných diskrétnych priestorov.) Bez dôkazu sme spomenuli, že súčin spočítateľne veľa priestorov vyhovujúcich prvej (druhej) axióme spočítateľnosti opäť vyhovuje prvej (druhej) axióme spočítateľnosti.

[Martin Sleziak]

4. týždeň:

6. prednáška: (11.10.)
Topologický súčet: Definícia, základné vlastnosti. Je to finálna topológia.
Spomenuli sme, že viaceré konštrukcie, ktoré sme robili teraz, sú špeciálne prípady limít a kolimít v kategórii topologických priestorov.
Niektoré časti, ktoré sú v texte pri iniciálnej a finálnej topológii som zatiaľ preskočil. (Je možné, že k niektorým z nich sa ešte vrátime.)

Spoiler:

Iniciálna topológia vzhľadom na systém $\{f_i; i\in I\}$ je to isté, ako inicálna topológia vzhľadom na $\langle f_i\rangle$.
Systémy oddelujúce body a uzavreté množiny (a postačujúca podmienka, aby $\langle f_i\rangle$ bolo vloženie.)
Diagonála v $X\times X$ resp. $X^I$.
Slabá a slabá${}^*$ topológia.

$T_0$, $T_1$, $T_2$-priestory
Definícia $T_0$, $T_1$, $T_2$-priestorov (hausdorffovských priestorov). Príklady.
Topologický priestor je $T_1$ p.v.k. jednobodové množiny sú uzavreté.
Metrické priestory sú $T_2$.

Konvergencia postupností$\newcommand{\R}{\mathbb R}$
Limita postupnosti. Definícia limity postupnosti, príklady, jednoznačnosť v hausdorffovských priestoroch. (A nejaké poznámky k označeniu súvisiace s tým, že postupnosť môže mať vo všeobecnosti viac než jednu limitu.)
Postupnosti a uzavretosť. Limita postupnosti prvkov z $A$ patrí do $\overline A$, uzavretá množina je sekvenciálne uzavretá. V priestoroch s prvou axiómou spočítateľnosti platí obrátená implikácia v oboch týchto tvrdeniach. (A neskôr sa dostaneme k tomu, že pre ak postupnosti nahradíme sieťami, tak už budeme mať ekvivalenciu v ľubovoľnom topologickom priestore.)
Tieto podmienky vlastne popisujú Fréchetove-Urysohnove a sekvenciálne priestory - aj keď my sa týmito triedami priestorov nebudeme zaoberať.
Spojitosť a sekvenciálna spojitosť. Spojité zobrazenie je sekvenciálne spojité, obrátená implikácia platí v priestoroch spĺňajúcich prvú axiómu spočítateľnosti.
Postupnosti a priestor $C(\omega)$. Konvergencia postupnosti je to isté, ako spojitosť $\overline x\colon C(\omega) \to X$.
Hromadné body a podpostupnosti. Toto som preskočil - spomeniem pri sieťach.
Kontrapríklady. Ukázali sme, že vo všeobecnosti neplatia tvrdenia, ktoré sme dostali pre priestory vyhovujúce prvej axióme spočítateľnosti.
Jeden taký kontrapríklad je $\{0,1\}^{\R}$ (Cantorova kocka)

7. prednáška: (14.10.)
Konvergencia sietí
Definícia nahor usmernenej množiny.
Definícia siete a limity siete. Limita siete a subbáza, sieť $(x_U)_{U\in\mathcal B_a}$.
Charakterizácia uzáveru a uzavretej množiny pomocou sietí. (Limity sietí jednoznačne určujú topológiu.)
Vrátili sme sa k príkladu $\{0,1\}^{\R}$; tam konvergencia postupností nestačí na popísanie uzáveru, ale so sieťami to už funguje.
Iný podobný príklad je $\omega_1+1=\langle0,\omega_1\rangle$; tu podmnožina $A=\langle0,\omega_1)$ je uzavretá na limity postupností. Nie je však uzavretá, sieť $x_\alpha=\alpha$ konverguje k $\omega_1$. (Symbol $\omega_1$ tu označuje prvý nespočítateľný ordinál.)
Siete a priestor $C(D)$.

[Martin Sleziak]

5. týždeň:

8. prednáška: (18.10.)
Siete.
Jednoznačnosť limity - charakterizácia hausdorffovských priestorov pomocou sietí.
Charakterizácia spojitosti pomocou sietí.
Konvergencia sietí v iniciálnej topológii. Konvergencia v topologickom súčine je bodová konvergencia.
(Neukázal som Riemannov integrál ako príklad limity siete - niekedy sa k tomu vrátim.)
Podsiete.
Definícia podsiete, súvis s priestorom $C(D)$
Hromadné body siete - definícia a charakterizácia hromadných bodov ako limít podsietí.
(Neukázal som zatiaľ popis množiny hromadných bodov pomocou uzáverov "chvostov" siete. Takisto som zatiaľ ani neukázal, že podsieť postupnosti nemusí nutne byť postupnosť.)

9. prednáška: (21.10.)
Podsiete. Množina hromadných bodov sa dá vyjadriť ako $\bigcap\limits_{d\in D}\overline{\{x_e; e\in D, e\ge d\}}.$ (A teda je to uzavretá množina.)
Podsieť postupnosti nemusí byť postupnosť. (Ako jednoduché príklady sme si ukázali, že to môžu byť napríklad siete na $\omega_1+\omega$ alebo $\mathbb N\times\mathbb N$.)
V literatúre sa vyskytujú aj iné definície podsiete ako je tá naša.
Siete. Riemannov integrál ako príklad limity siete. (Nahor usmernená množina je určená deleniami intervalu, hodnoty siete sú Riemannove sumy resp. Darbouxove sumy.)
Ak má usmernená množina najväčší prvok, tak limity sú práve body spĺňajúce $a\in\overline{\{x_m\}}$. Toto je ukážka prípadu, kde je dôležité, že v definícii sme použili $d\ge d_0$ a nie $d>d_0$.

Filtre a ultrafiltre
Základné fakty o filtroch.
Definícia filtra. Príklady: Kofinitný filter, filter okolí bodu.
Báza filtra - definícia a ako vyzerá zodpovedajúci filter. Báza filtra odvodená od nahor usmernenej množiny. (A aj báza filtra s usporiadaním obrátenou inklúziou tvorí nahor usmernenú množinu.)
Ultrafitre.
Definícia ultrafiltra. Ultrafilter = maximálny filter (vzhľadom na inklúziu).
Hlavný ultrafilter. Voľný filter.
Centrovaný systém. Dôkaz, že každý centrovaný systém je obsiahnutý v nejakom ultrafiltri. (Tzv. ultrafilter lemma. Dôkaz sa dá urobiť pomocou Zornovej lemy.) Z toho dostaneme existenciu voľných ultrafiltrov.

[Martin Sleziak]

6. týždeň:

10. prednáška: (25.10.)
Ultrafitre.
Urobilil sme dôkaz, že každý centrovaný systém je obsiahnutý v nejakom ultrafiltri. (Tzv. ultrafilter lemma.) Dôkaz sme robili pomocou Zornovej lemy.
Viacero ďalších vecí, ktoré sa dajú ukázať pomocou Zornovej lemy, je vymenovaných tu: viewtopic.php?t=620
$\mathcal F$-limita.
Zadefinovali sme $\mathcal F$-limitu. (Najprv všeobecne pre funkciu $f\colon M\to X$ a potom sme sa pozreli na postupnosti, aby sme videli analógiu s obvyklou definíciou limity postupnosti.)
Niektoré jednoduché vlastnosti - čo sa stane ak vezmeme jemnejší filter, v definícii stačí zobrať množiny zo subbázy.
Špeciálne prípady: Limita siete. Limity $x\to a$, $x\to a^+$, $x\to\infty$ pre reálne funkcie. (Zadefinovali sme aj limitu v bode pre funkcie medzi topologickými priestormi.)
Zadefinovali sme priestor $C(\mathcal F)$ a ukázali sme si, ako súvisí $\mathcal F$-limita funkcie $f$ so spojitosťou zobrazenie $\overline f\colon C(\mathcal F)\to X$.
Spomenuli sme si, že ak by sme pracovali s funkciami $M\to\mathbb R$, tak platia podobné veci ako pre obvyklú limitu (súčet a súčin limít, nerovnosť).

11. prednáška: (28.10.)
Konvergencia filtrov
Definícia limity filtra na $X$, vzťah s F-limitou.
Popis uzáveru, spojitosti, hausdorffovskosti pomocou filtrov. Iniciálna (súčinová) topológia a konvergencia filtrov. (Pre hausdorffovskosť a iniciálnu topológiu som preskočil dôkaz.)
Hromadný bod filtra - definícia a základné vlastnosti.

[Martin Sleziak]

12. prednáška: (8.11.)
T0,T1 a T2-priestory
Zopakovanie definícii. $T_1$-priestory sa dajú popísať tak, že jednobodové množiny sú uzavreté. Tiež sú to presne tie priestory, v ktorých majú konštantné siete (hlavné ultrafiltre) jedinú limitu.
Definícia hausdorffovských priestorov a jednoduché príklady (metrické priestory, topológia určená usporiadaním).
Preskočil som (nechtiac) to, že podpriestor $T_2$ priestoru a súčin $T_2$-priestorov je opäť $T_2$-priestor. Dá sa urobiť aj spoločné zovšeobecnenie - pre iniciálnu topológiu.
Priestor $X$ je haudorffovský práve vtedy, keď diagonála $\Delta=\{(x,x); x\in X\}$ je uzavretá v $X\times X$. Množina $\{x\in X; f(x)=g(x)\}$ je uzavretá pre spojité zobrazenia $f,g\colon X\to Y$, ak $Y$ je hausdorffovský. Ako dôsledok dostávame, že ak $f|_D=g|_D$ pre hustú množinu $D$, tak $f=g$.
Regulárne priestory
Definícia regulárneho priestoru a $T_3$-priestoru. Charakterizácia pomocou existencie okolia takého, že $b\in U\subseteq\overline U\subseteq V$. Táto charakterizácia sa dá rozšíriť aj na subbázu.
Podpriestor a súčin regulárnych priestorov. Príklad priestoru, ktorý je $T_2$ ale nie je $T_3$.

13. prednáška: (11.11.)$\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}\newcommand{\Invobr}[2]{\inv{#1}[#2]}$
Na začiatku sme si stručne povedali niečo o tom, že ak máme operáciu, ktorá je spojitá ako zobrazenie $\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$ (napríklad sčitovanie), tak pomocou zloženia s $\langle f,g\rangle$ vieme ukázať, že z dvoch spojitých funkcií dostaneme opäť spojitú funkciu
Úplne regulárne priestory
Definícia úplne regulárneho a tichonovovského priestoru ($T_{3\frac12}$-priestoru).
V definícii môžeme $C(X,\mathbb R)$ nahradiť $C(X,I)$, t.j. obmedziť sa na funkcie do intervalu $I=\langle0,1\rangle$.
Charakterizácia pomocou otvorených množín a pomocou subbázy.
Každý $T_{3\frac12}$-priestor je musí byť $T_2$ a aj $T_3$.
Táto trieda priestorov je uzavretá na podpriestory a súčiny.
Každý tichonovovský priestor je homeomorfný s podpriestorom nejakej Tichonovovej kocky, t.j priestoru tvaru $I^A$. (Konkrétne môžeme zobrať $A=C(X,I)$ a evaluácia funkcií nám potom dá vloženie.)
Pri dôkaze sme si ukázali aj nejaké veci súvisiace so súčinmi a iniciálnou topológiou.
Videli sme, že $\langle f_i\rangle$ je injektívne p.v.k. systém $\{f_i; i\in I\}$ oddeľuje body.
Tiež sme videli, že iniciálna topológia vzhľadom na systém $\{f_i; i\in I\}$ sa zhoduje s iniciálnou topológiou vzhľadom na zobrazenie $\langle f_i\rangle$.
Zadefinovali sme si, čo znamená, že nejaký systém oddeľuje body a uzavreté množiny, Bez dôkazu sme si spomenuli, že v takom prípade tvorí
$\mathcal B=\{\Invobr {f_i}{U}; i\in I, U\in\mathcal T_i\}$ bázu (a nie iba subbázu). Pre $T_1$-priestory takto dostaneme postačujúcu podmienku na to, aby $\langle f_i\rangle$ bolo vloženie.

[Martin Sleziak]

14. prednáška: (15.11.)
Normálne priestory
Definícia normálneho priestoru a $T_4$-priestoru. Ekvivalentná charakterizácia cez $C\subseteq O\subseteq\overline O\subseteq U$.
Urysohnova lema a jej dôkaz. (Ako dôsledok dostávame, že každý $T_4$-priestor je tichonovovský.)
Uzavretý podpriestor normálneho priestoru je opäť normálny.
Každý metrický priestor je $T_4$.
Jonesova lema. (Nech $X$ je normálny priestor, $D$ je hustá podmnožina v $X$ a $C$ je uzavretá podmnožina $X$, ktorá je diskrétna (v relatívnej topológii). Potom platí $2^{|C|}\le 2^{|D|}$.)

15. prednáška: (18.11.)
Normálne priestory
Tietzeho veta a dôkaz.
Kontrapríklady: Sorgenfreyova priamka $\mathbb R_l$ je normálny priestor ale $\mathbb R_l\times\mathbb R_l$ nie je normálny. Mooreova rovina $\Gamma$ je úplne regulárny priestor, ktorý nie je normálny. (Z toho dostávame, že podpriestor normálneho priestoru nemusí byť normálny, neskôr ukážeme, že $\langle0,1\rangle^A$ je kompaktný $T_2$-priestor, a teda je to aj $T_4$-priestor.)
Bez dôkazu sme spomenuli, že spojitý uzavretý obraz normálneho priestoru je normálny. Spomenuli sme ekvivalentnú charakterizáciu normálnych priestorov, ktorá sa dá použiť pri tomto dôkaze: Pre ľubovoľné otvorené podmnožiny $U,V\subseteq X$ také, že $U\cup V=X$ existujú uzavreté množiny $C,D\subseteq X$ tak, že $C\subseteq U$, $D\subseteq V$ a $C\cup D=V$.

[Martin Sleziak]

16. prednáška: (22.11.)
Kompaktné priestory.
Definícia kompaktného priestoru, jednoduché príklady. Interval $\langle0,1\rangle$ je kompaktný.
Charakterizácia pomocou centrovaného systému. Uzavretý podpriestor kompaktného priestoru je kompaktný. Kompaktný podpriestor $T_2$-priestoru je uzavretý. Každý kompaktný $T_2$-priestor je aj $T_4$.
Kompaktnosť a konvergencia.
V kompaktnom priestore pre každý ultrafilter existuje $\mathcal U$-limita. Ekvivalentné charakterizácie kompaktnosti pomocou konvergencie ultrafiltrov a existencie hromadných bodov filtrov.
Topologický priestor je kompaktný p.v.k. každá sieť v $X$ má hromadný bod.

17. prednáška: (25.11.)
Kompaktnosť a konvergencia. Ukázali sme si, že pre $C=\{0,1\}^{\mathbb N}$ máme v kompaktnom priestore $\{0,1\}^C$ postupnosť $(p_n)$, ktorá nemá konvergentnú podpostupnosť. (Inak povedané, je to príklad kompaktného priestoru, ktorý nie je sekvenciálne kompaktný.)
Spojitý obraz kompaktného priestoru. Ukázali sme si, že spojitý obraz kompaktného priestoru je kompaktný a spomenuli sme niekoľko dôsledkov.
Tichonovova veta. Vyslovili sme Tichonovou vetu a spomenuli sme niektoré jej dôsledky. Videli sme dva dôkazy - jeden založený na Alexandrovej vete o subbáze, druhý využívajúci pojem $\mathcal F$-limity.