Úloha 5.2.6 - riešenie

[Michal Svec]

Znenie úlohy:
Zistite, či [$\vec \beta_1, \vec \beta_2 $] $\subseteq$ [$\vec \gamma_1, \vec \gamma_2, \vec \gamma_3 $] vo vektorovom priestore $\mathbb{R}^4$ nad poľom $\mathbb{R}$, ak $\vec \gamma_1 =(1, 1, 5, 1)$, $\vec \gamma_2 =(1, 0, 2, 1)$, $\vec \gamma_3 =(2, 1, 0, 1)$, $\vec \beta_1 =(1, 1, 5, 1)$, $\vec \beta_2 =(-1, 1, -6, -2)$


Riešenie:
To, či lineárny obal generovaný vektormi $\vec \beta_1, \vec \beta_2 $, je podmožinou lineárneho obalu generovaného vektormi $\vec \gamma_1, \vec \gamma_2, \vec \gamma_3 $ môžeme zistiť tak, že si urobíme dve matice, jednu pre vektor $\vec \beta_1$ a druhú pre vektor $\vec \beta_2$. Vektory do nej zapíšeme vertikálne, to isté by sme dostali keby sme si do matice prepísali sústavu rovníc JG: akú sústavu máte na mysli? Ak ju "vyrobíte" zo zadaných vektorov?. Matice si upravíme na redukovaný trojuholníkový tvar a ak nám výjde nulový riadok znamená to, že vektory sú lineárne závislé JG: a ak nevýjde, znamená to, že sú nezávislé? Alebo to potom závisí ešte od niečoho iného? Viď dva príklady dole. V našom prípade, sme zistili, že vektor $\vec \beta_1$ aj $\vec \beta_2$ vieme zapísať ako lineárne kombinácie vektorov $\vec \gamma_1, \vec \gamma_2, \vec \gamma_3$ a teda naozaj platí, že [$\vec \beta_1, \vec \beta_2 $] $\subseteq$ [$\vec \gamma_1, \vec \gamma_2, \vec \gamma_3 $].

Mal som na mysli nasledovnú sústavu, táto je pre vektor $\vec \beta_1$:
$a(1,1,5,1) + b(1,0,2,1) + c(2,1,0,1) = (1,1,5,1)$

$\;\;a + b + 2c = 1\\
\;\;a \;\;\;\;\; \;\;+ c = 1\\
5a + 2b\;\;\;\;\;\;= 5\\
\;\;a + \;b + \;c = 1
$

Keď sa na to dívam z odstupom času tak tiež mi to nepríde ako dobré riešenie, nemal som to riešiť cez sústavy, ktoré sme v tom čase ešte nepreberali. Mohol som si napr. vektor $\vec \beta_1$ zapísať do matice s vektormi (po riadkoch) $\vec \gamma_1, \vec \gamma_2, \vec \gamma_3$ a zistiť, či sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia.

Prvá matica pre $\vec \beta_1 $:

$\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 1\\
1 & 0 & 1 & 1\\
5 & 2 & 0 & 5\\
1 & 1 & 1 & 1\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
- I\\
- 5I\\
- I\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 1\\
0 & -1 & -1 & 0\\
0 & -3 & -10 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
\cdot(-1)\\
\\
\cdot(-1)
\end{array}
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & -3 & -10 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
- II\\
\\
+3II\\
\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & -7 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
\\
\cdot\frac{1}{7}
\\
\\
\end{array}
\sim
\\
\sim
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
+III\\
+III\\
\\
+III\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
\\
\cdot(-1)\\
\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
\\
\\
\\
\end{array}
$

Druhá matica pre $\vec \beta_2 $:

$\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & -1\\
1 & 0 & 1 & 1\\
5 & 2 & 0 & -6\\
1 & 1 & 1 & -2\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
-I\\
- 5I\\
- I\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & -1\\
0 & -1 & -1 & 2\\
0 & -3 & -10 & -1\\
0 & 0 & -1 & -1\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
+II\\
\\
\\
\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1\\
0 & -1 & -1 & 2\\
0 & -3 & -10 & -1\\
0 & 0 & -1 & -1\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
\cdot(-1)\\
\\
\cdot(-1)\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & -2\\
0 & -3 & -10 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
\\
+3II\\
\\
\end{array}
\sim
\\
\sim
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & -2\\
0 & 0 & -7 & -7\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
\\
\cdot\frac{1}{7}\\
\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & -2\\
0 & 0 & -1 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
+III\\
+III\\
\\
+III\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -3\\
0 & 0 & -1 & -1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
\\
\cdot(-1)\\
\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -3\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array} \right)
$


JG: Matica
$\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array} \right)$
je redukovaná trojuholníková, NEMÁ nulový riadok ale jej stĺpce sú LZ vektory

Matica
$\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)$
je redukovaná trojuholníková, MÁ nulový riadok ale jej stĺpce sú LN vektory


Ešte ďalsia poznámka: toto riešenie by sa dalo sformulovať tak, aby bolo správne (ale nie "čiste" cez nulovosť riadku v RTM, skôr tak, že z výsledných RTM určíte "netriviálne" koefecienty, z ktorých vidieť lin. závislosť, prípadne len "dokážete", že tam riešenie existuje), ale takto je to neefektívne a tá úloha je v skriptách na mieste, kde sa dajú (možno majú) použiť metódy založené na pojme riadkového priestoru matice a vete (leme) 5.2.14 - o.i. tak sme to robili na cvičeniach, prípadne pojmu hodnosť matice (presne podľa definície, t.j. dimenzie riadkového priestoru) a vety 4.3.8., čo sú efektívnejšie metódy.

[jaroslav.gurican]

Inak túto úlohu sme riesili aj na cvičeniach a hovoril som, ze body budú za príklady, ktoré neboli riešené na cvičeniach, prípadne za inovatívne, iné dobré riešenia. Ale to riešenie nie je dobré na udelenie bodu.

[Michal Svec]

Inak túto úlohu sme riesili aj na cvičeniach a hovoril som, ze body budú za príklady, ktoré neboli riešené na cvičeniach, prípadne za inovatívne, iné dobré riešenia. Ale to riešenie nie je dobré na udelenie bodu.

Mne sa zdá, že tento príklad sme na cvičeniach neriešili, nenašiel som si ho v zošite, tak preto som ho tu aj pridal. No nevadí, aj tak som ho nevyriešil správne...