Úloha 3.2.9 - riešenie (tretia matica)

[Lukas Hudcovsky]

Zadanie úlohy: zistiť hodnosť danej matice v závislosti od parametra $c\in \mathbb{R}$
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0\\
2 & c-1 & 2c\\
c & c & c
\end{pmatrix}
Hodnosť matice predstavuje dimenziu podpriestoru prislúchajúceho danej matici, teda vieme ju zistiť tak že maticu upravíme na redukovanú trojuholníkovú maticu a počet jej nenulových riadkov (ktoré sú báza daného podpriestoru) bude predstavovať hodnosť danej matice.

Výpočet si vieme rozdeliť na 2 prípady, podľa toho či je c rovné nule:

1) $c=0\\
\\
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
2 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
-\mathit{I}\\
\
\end{matrix}

\sim
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
0 & -2 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\cdot \frac{1}{2}\\
\cdot -\frac{1}{2}\\
\
\end{matrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
-\frac{1}{2}\cdot \mathit{II}\\
\\\

\end{matrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

V RTM sú 2 nenulové riadky takže $h(A)=2$ pre $c=0$.

2) $c\neq 0\\
\\
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0\\
2 & c-1 & 2c\\
c & c & c
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
\\
\cdot \frac{1}{c}
\end{matrix}
\sim
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0\\
2 & c-1 & 2c\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
2 & c+1 & 0\\
2 & c-1 & 2c
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
-2\mathit{I}\\
-2\mathit{I}
\end{matrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & c-1 & -2\\
0 & c-3 & 2c-2
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
\\
+\mathit{II}
\end{matrix}
\sim
\\
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & c-1 & -2\\
0 & 2c-4 & 2c-4
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
\\
\cdot \frac{1}{2}
\end{matrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & c-1 & -2\\
0 & c-2 & c-2
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
\\
\cdot \frac{1}{2}
\end{matrix}$

V tomto mieste si znovu môžeme rozdeliť úlohu na 2 prípady podľa toho či je c rovné dvom.

a) $ c=2\\
\\
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
-\mathit{II}\\
\\
\
\end{matrix}

\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

V RTM sú 2 nenulové riadky takže $h(A)=2$ pre $c=2$.

b) $ c\neq2\\
\\
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & c-1 & -2\\
0 & c-2 & c-2
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
\\
\cdot \frac{1}{c-2}
\end{matrix}

\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & c-1 & -2\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
-\mathit{III}\\
+2\cdot \mathit{III}\\
\
\end{matrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & c+1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & c+1 & 0
\end{pmatrix}$

Tu si ešte naposledy rozdelíme úlohu na 2 prípady podľa toho či je c rovné mínus jednej.

i) $c=-1\\
\\
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

V RTM sú znovu 2 nenulové riadky takže $h(A)=2$ pre $c=-1$.

ii) $c=-1\\
\\
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & c+1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
\\
\cdot \frac{1}{c+1}
\end{matrix}

\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
-\mathit{III}\\
\
\end{matrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

V RTM sú 3 nenulové riadky takže $h(A)=3$ pre všetky ostatné c.

Výsledok: $h(A)=\left\{\begin{matrix}
2; c\in \left \{ 0, 2, -1 \right \}\\
\\
\: 3; c\in \mathbb{R}-\left \{ 0, 2, -1 \right \}\\
\end{matrix}\right.$

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod

Pri tejto úlohe môžete (ako písal M.Sleziak) využiť aj determinant (lebo matica je štvorcová${}^*$) - (štvorcová) matica je singulárna práve vtedy keď jej determinant je 0.
$$\det
\left(
\begin{matrix}
2 & c+1 & 0 \\
2 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{matrix}
\right)=2c^3-2c^2-4c=2c(c^2-c-2)=2c(c+1)(c-2)
$$
Čiže pre $c\in R\setminus\{-1,0,2\}$ je matica $A$ regulárna a teda $h(A)=3$ a pre $c\in \{-1,0,2\}$ je teda $h(A)\ne 3$ - tam je ešte treba skontrolovať, aká bude tá hodnosť pre jednotlivé uvedené hodnoty.

${}^*$ determinant sa dá použiť aj pre neštvorcové matice (na riešenie tejto úlohy, čiže na odhalenie hodnôt parametra, pre ktorý bude hodnosť zaujímavá - menšia ako počet riadkov, stĺpcov), ale je to trochu viac triky (vo všeobecnom prípade by bolo potrebné vypočítať viac determinantov, čím sa táto metóda môže stať neefektívnou) a oficiálne ste k tomu nemali teóriu.