Prienik roviny a nadroviny v $\mathbb R^4$

[Martin Sleziak]

Pre dané afinné podpriestory $\alpha$, $\beta$ v $\mathbb R^4$ nájdite ich prienik -- vyjadrite ho parametricky i všeobecne. Zistite, či sú rovnobežné, rôznobežné, mimobežné (alebo či nenastane ani jedna z týchto možností).

Môžete sa zamyslieť aj nad tým, či niektoré z uvedených možností viete vylúčiť už z toho, že $\dim(V_\alpha)=2$, $\dim(V_\beta)=3$ a pracujeme v štvorrozmernom priestore -- t.j. bez toho, aby ste naozaj aj počítali prienik. (Ale ako odpoveď úplne postačí aj ak vzájomnú polohu zistíte na základe výpočtov, ktoré urobíte.)

\begin{gather*}
\alpha\equiv\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4; x_1-x_2+x_3+x_4=0, x_2+x_3-2x_4=1\}\\
\beta \equiv
\begin{cases}
x_1=1+s\hphantom{+t}+2u\\
x_2=3\hphantom{+s}+t+u\\
x_3=2-s+t-3u\\
x_4=\hphantom{3}-s\hphantom{+t}+2u, \qquad s,t,u\in\mathbb R
\end{cases}
\end{gather*}

Na fóre je vyriešených viacero úloh na vzájomnú polohu: viewtopic.php?t=1509 - ale napíšem niečo aj k tejto.

Platí $\dim(V_\alpha\cap V_\beta)\ge1$.
Ak sme si všimli, že rovina $\alpha$ je zadaná dvomi lineárne nezávislými rovnicami, tak hneď vidíme, že $\dim(V_\alpha)=4-2=2$.
Takisto ak skontrolujeme, že vektory určujúce podpriestor $\beta$ sú lineárne nezávislé, tak dostaneme $\dim(V_\beta)=3$.
Ak vieme dimenzie týchto priestorov, malo by nám to stačiť na to, aby sme videli, že
$$\dim(V_\alpha\cap V_\beta)\ge1.$$

Spoiler:

\begin{align*}
\dim(V_\alpha\cap V_\beta)
&=\dim(V_\alpha)+\dim(V_\beta)-\dim(V_\alpha+V_\beta)\\
&\ge\dim(V_\alpha)+\dim(V_\beta)-\dim(\mathbb R^4)\\
&=2+3-4=1
\end{align*}

Keď naozaj vypočítame, že prienik je v tomto prípade jednorozmerný, tak tým súčasne zistíme, že afinné podpriestory $\alpha$ a $\beta$ sú rôznobežné.

Všeobecné vyjadrenie nadroviny
Nie je to jediná vec, ktorú môžeme použiť - ale možno by nám pri hľadaní prieniku pomohlo nájsť všeobecné vyjadrenie nadroviny $\beta$.

Asi jedna priamočiara možnosť ako riešiť túto úlohu je nájsť sústavu rovníc, pre ktorú táto množina predstavuje množinu riešení.
Ak vidíme, že $V_\beta=[(1,0,-1,-1),(0,1,1,0),(2,1,-3,2)]$, tak štandardným postupom (ktorý sme už viackrát videli) vieme overiť, že $V_\beta$ je presne množina riešení homogénnej sústavy
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
3 &-2 & 2 & 1 & 0
\end{array}\right)$$
resp. $$3x_1-2x_2+2x_2+x_3=0.$$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 0 &-1 &-1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 1 &-3 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 &-1 &-1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 &-1 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 &-1 &-1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 &-2 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 &-3 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 &-2 \\
\end{pmatrix}
$

Spoiler:

Resp. na tento výpočet sa dá pozerať aj tak, že $V_\beta^\bot=[(3,-2,2,1)]$.

Ak ešte využijeme, že $\beta$ obsahuje bod $(3,2,1,0)$, tak dostaneme
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
3 &-2 & 2 & 1 & 1
\end{array}\right)$$
resp. $$3x_1-2x_2+2x_2+x_3=1.$$

Samozrejme, je veľa iných možností ako dostať všeobecné vyjadrenie. (Napríklad niektorí ste to robili tak, že ste vyjadrili z niektorých troch rovníc všetky parametre a dosadili do zostávajúcej rovnice.)

Výpočet prieniku.

Ak som si vypočítal všeobecnú rovnicu pre $\beta$, tak už vlastne stačí nájsť množinu riešení sústavy troch rovníc. Dostanem tak:
$$\body B_\alpha\cap\body B_\beta=\{(1,1,0,0)+p(1,2,0,1); p\in\mathbb R\}.$$

Spoiler:

$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 &-2 & 1 \\
3 &-2 & 2 & 1 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 &-2 & 1 \\
1 & 0 & 0 &-1 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 1 &-2 & 1 \\
1 & 0 & 0 &-1 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 &-2 & 1 \\
1 & 0 & 0 &-1 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right)
$

Môžem samozrejme postupovať aj tak, že parametrické vyjadrenie pre $\alpha$ (ktoré mám zadané) dosadím do všeobecného vyjadrenia pre $\beta$.
Treba pri tom ale nezabudnúť, že takto som dostal iba možné hodnoty parametrov $s$, $t$, $u$; čiže to ešte potrebujem previesť na body ležiace v prieniku.

Spoiler:

Máme dve rovnice
\begin{align*}
x_1-x_2+x_3+x_4&=0\\
x_2+x_3-2x_4&=1
\end{align*}
a po dosadení
\begin{align*}
(1+s+2u)-(3+t+u)+(2-s+t-3u)+(-s+2u)&=0\\
(3+t+u)+(2-s+t-3u)-2(-s+2u)&=1
\end{align*}
Po úprave dostaneme
\begin{align*}
-s&=0\\
s+2t-6u&=-4
\end{align*}
Dostaneme ako množinu riešení $\{(0,-2+3u,u); u\in\mathbb R\}$, t.j. $s=0$ a $t=-2+3u$.
Ak tieto vyjadrenia dosadíme naspäť do parametrického vyjadrenia pre $\beta$, tak nám vyjde
\begin{align*}
x_1&=1+2u\\
x_2&=1+4u\\
x_3&=0\\
x_4&=2u
\end{align*}
Dostali sme $\{(1+2u,1+4u,0,2u); u\in\mathbb R\}$, čo je parametrické vyjadrenie tej istej priamky, ktorá vyšla v predošlom postupe.

Zatiaľ mám iba parametrické vyjadrenie prieniku.
Z parametrizácie môžem ale dostať veľa rôznych všeobecných vyjadrení. Vlastne opäť hľadám k danému podpriestoru sústavu rovníc - v jednorozmernom prípade by to malo byť jednoduché.
Napríklad
\begin{align*}
x_1-x_4&=1\\
x_2-2x_4&=1\\
x_3&=0
\end{align*}