10. prednáška (2.12.)
Kvadratické kongruencie. Definícia kvadratických zvyškov a nezvyškov. Legendrov symbol. Eulerovo kritérium.
Vyjadrenie $\left(\frac{-1}p\right)$ a $\left(\frac{2}p\right)$. Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $4k+1$.
Pomocou kvadratických zvyškov sa dá ukázať, že existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $8k+7$; tento dôkaz som na prednáške spraviť nestihol.
Ako som spomínal, Dirichletova veta nám dáva tento výsledok pre veľa aritmetických postupností - dôkaz však nie je jednoduchý. Pre niektoré postupnosti to vieme dokázať vcelku elementárne: viewtopic.php?t=794
Ukázali sme, že ak $p=4k+3$, tak $q=2p+1$ je prvočíslo p.v.k $q\mid M_p$. Wikipédia: Sophie Germain primes.
Prednášky ZS 2022/23 - teória čísel
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - teória čísel
11. prednáška (9.12.):
Legendrov symbol. Gaussova lema. Vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.) Spomeniem, že sa dá nájsť veľa rôznych dôkazov zákona kvadratickej reciprocity.
Ukázali sme na jednom konkrétnom príklade použitie zákona kvadratickej reciprocity na výpočet Legendrovho symbolu.
Ukázali sme, že $3$ je kvadratický zvyšok modulo prvočíslo $p>3$ p.v.k. $p=12k\pm1$.
Legendrov symbol. Gaussova lema. Vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.) Spomeniem, že sa dá nájsť veľa rôznych dôkazov zákona kvadratickej reciprocity.
Ukázali sme na jednom konkrétnom príklade použitie zákona kvadratickej reciprocity na výpočet Legendrovho symbolu.
Ukázali sme, že $3$ je kvadratický zvyšok modulo prvočíslo $p>3$ p.v.k. $p=12k\pm1$.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - teória čísel
12. prednáška (16.12.):
Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol a ukázali sme niektoré základné vlastnosti. Povedali sme si, že pri Jacobiho symbole už neplatí, že $a$ je kvadratický zvyšok p.v.k. $\left(\frac{a}{P}\right)=1$.
Ukázali sme si, že aj pre Jacobiho symbol platia vzťahy $\left(\frac{-1}{P}\right)=(-1)^{(P-1)/2}$ a $\left(\frac{2}{P}\right)=(-1)^{(P^2-1)/8}$ a platí preň aj zákon kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.
Pre neštvorec existuje nekonečne veľa prvočísel modulo ktoré je to kvadratický zvyšok.
Kvadratické zvyšky modulo zložené čísla. Stihli sme povedať výsledok, ktorý hovorí, kedy je $a$ kvadratický zvyšok modulo $p^n$ pre nepárne $p$ a pre $p\nmid a$.
Nehovoril som o prípade $p=2$ (t.j. ako vyzerajú kvadratické zvyšky pre mocniny dvojky.)
Ale aspoň stručne som spomenul, že na základe takýchto výsledkov by som to potom vedel urobiť modulo ľubovoľné číslo ak poznám jeho kanonický rozklad - na základe čínskej zvyškovej vety.
Veci, ktoré som tento semester nestihol prebrať: Wilsonova veta, Lagrangeova veta. Möbiova funkcia a Möbiova inverzia.
Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol a ukázali sme niektoré základné vlastnosti. Povedali sme si, že pri Jacobiho symbole už neplatí, že $a$ je kvadratický zvyšok p.v.k. $\left(\frac{a}{P}\right)=1$.
Ukázali sme si, že aj pre Jacobiho symbol platia vzťahy $\left(\frac{-1}{P}\right)=(-1)^{(P-1)/2}$ a $\left(\frac{2}{P}\right)=(-1)^{(P^2-1)/8}$ a platí preň aj zákon kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.
Pre neštvorec existuje nekonečne veľa prvočísel modulo ktoré je to kvadratický zvyšok.
Kvadratické zvyšky modulo zložené čísla. Stihli sme povedať výsledok, ktorý hovorí, kedy je $a$ kvadratický zvyšok modulo $p^n$ pre nepárne $p$ a pre $p\nmid a$.
Nehovoril som o prípade $p=2$ (t.j. ako vyzerajú kvadratické zvyšky pre mocniny dvojky.)
Ale aspoň stručne som spomenul, že na základe takýchto výsledkov by som to potom vedel urobiť modulo ľubovoľné číslo ak poznám jeho kanonický rozklad - na základe čínskej zvyškovej vety.
Veci, ktoré som tento semester nestihol prebrať: Wilsonova veta, Lagrangeova veta. Möbiova funkcia a Möbiova inverzia.