\newcommand{\permt}[3]{\left(\begin{smallmatrix}1 & 2 & 3 \\ #1 & #2 & #3\end{smallmatrix}\right)}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}
\newcommand{\sm}{\setminus}
\newcommand{\emps}{\emptyset}
\newcommand{\Ldots}[3]{#1_{#2},\ldots,#1_{#3}}
$
$$ \begin{array}{|c|cccccc|}
\hline
& id & \permt213 & \permt321 & \permt132 & \permt231 & \permt312 \\ \hline
id & id & \permt213 & \permt321 & \permt132 & \permt231 & \permt312 \\
\permt213 & \permt213 & id & \permt312 & \permt231 & \permt132 & \permt321 \\
\permt321 & \permt321 & \permt231 & id & \permt312 & \permt213 & \permt132 \\
\permt132 & \permt132 & \permt312 & \permt231 & id & \permt321 & \permt213 \\
\permt231 & \permt231 & \permt321 & \permt132 & \permt213 & \permt312 & id \\
\permt312 & \permt312 & \permt132 & \permt213 & \permt321 & id & \permt231 \\
\hline
\end{array}$$
Podgrupy
$H$ je podgrupa grupy $(G,*)$ ak:
- pre ľubovoľné $x,y\in H$ platí $x*y\in H$ a $\inv x\in H$;
- pre ľubovoľné $x,y\in H$ platí $x*\inv y\in H$.
- Nájdite všetky podgrupy grupy $S_3$. (LAG1 1.4.6.(8))
- Nech $(G,*)$ je grupa a $H\ne\emptyset$ je konečná podmnožina taká, že pre ľubovoľné $x,y\in H$ platí $x*y\in H$. Potom $H$ je podgrupa grupy $G$. (LAG1 1.4.6(4))
- Ukážte, že $H=\{\frac mn; m,n$ sú nepárne$\}$ je podgrupa grupy $(\Q\sm\{0\},\cdot)$.
- Je množina $A=\{a+b\sqrt2; a,b\in\Q\}$ podgrupa grupy $(\R,+)$?
- Nájdite všetky podgrupy grupy $\Z_2\times\Z_2$ a všetky podgrupy grupy $\Z_4$ (v oboch prípadoch operácia $\oplus$). Majú tieto grupy rovnaký počet dvojprvkových podgrúp? (Viete na základe výsledku zdôvodniť, že tieto dve grupy nie sú izomorfné?)
- Je množina $H=\{\ln a; a\in\Q, a>0\}$ podgrupou grupy $(\R,+)$?
- Nech $H$ je podgrupa grupy $G$. Nech $g\in G$. Ukážte, že $gH\inv g=\{gh\inv g; h\in H\}$ je podgrupa grupy $G$.
- Nech $M\ne\emps$ a $G$ je množina všetkých bijektívnych zobrazení z $M$ do $M$. Je $\circ$ binárna operácia na $G$? Je $(G,\circ)$ grupa? Je komutatívna?
- Uvažujme funkcie $\Zobr{f_i}{\R\sm\{0,1\}}{\R\sm\{0,1\}}$ definované ako $f_1(x)=x$, $f_2(x)=1/x$, $f_3(x)=1-x$, $f_4(x)=1/(1-x)$, $f_5(x)=(x-1)/x$, $f_6(x)=x/(x-1)$. Dokážte, že $G=\{f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6\}$ s operáciou skladania zobrazení tvorí grupu. Zostavte tabuľku grupovej operácie a zistite, či je táto grupa izomorfná s grupou $S_3$.
- Nájdite príklad nekonečnej grupy, ktorá obsahuje netriviálnu konečnú podgrupu. (Pod netriviálnou podgrupou tu rozumieme podgrupu, ktorá má viac ako jeden prvok.)
- ${}^*$ Nech $G$ je grupa a $H_1$, $H_2$ sú jej podgrupy. Dokážte, že $H_1\cup H_2$ je podgrupa práve vtedy, keď $H_1\subseteq H_2$ alebo $H_2\subseteq H_1$.
- ${}^*$ Ak $A$, $B$, $C$ sú podgrupy grupy $G$ a $C\subseteq A\cup B$, tak $C\subseteq A$ alebo $C\subseteq B$.
- Nech $(G_1,*_1)$, $(G_2,*_2)$ sú grupy. Zoberme grupu $(G_1\times G_2,*)$, kde $$(a,b)*(a',b')=(a*_1a',b*_2b'),$$ t.j. $G$ je priamy súčiny grúp $G_1\times G_2$.
a) Ukážte, že ak $H_1$ je podgrupa $G_1$ a $H_2$ je podgrupa $G_2$, tak $H_1\times H_2$ je podgrupa grupy $G_1\times G_2$.
b) Nájdite príklad grúp $G_1$, $G_2$ takých, že $G_1\times G_2$ má podgrupu, ktorá sa nedá dostať ako $H_1\times H_2$ pre žiadne $H_1\subseteq G_1$, $H_2\subseteq G_2$.
$f\colon(G,\ast)\to(H,\square)$
$$f(x\ast y)=f(x)\square f(y)$$
- Dokážte: Nech $(G,*)$ a $(H,\circ)$ sú grupy a $G$ je komutatívna. Ak existuje izomorfizmus $\Zobr fGH$, tak aj $(H,\circ)$ je komutatívna grupa. (Teda grupa izomorfná s komutatívnou grupou je komutatívna.) Platí toto tvrdenie, ak predpoklad o existencii izomorfizmu nahradíme požiadavkou na existenciu homomorfizmu? Čo sa stane, ak budeme požadovať existenciu surjektívneho homomorfizmu (=epimorfizmu)?
- Zistite, či sú grupy $(\Z_4,+)$ a $(\Z_5\sm\{0\},\cdot)$ izomorfné.
- Sú grupy $(S_3,\circ)$ a $(\Z_6,+)$ izomorfné?
- Sú grupy $(\Z_6,+)$ a $(\Z_2\times\Z_3,+)$ izomorfné? (Operáciu $+$ na množine $\Z_2\times\Z_3$ chápeme po zložkách, t.j. $(x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1\oplus_2 x_2, y_1\oplus_3 y_2)$. Operácie $\oplus_2$ a $\oplus_3$ označujú sčitovanie modulo 2 resp. modulo 3 -- na tomto mieste som použil iné označenie, aby som zdôraznil, že na prvej a na druhej súradnici máme inú operáciu.)
- Sú grupy $(\Z_4,+)$ a $(\Z_2\times\Z_2,+)$ izomorfné?
- Nájdite všetky homomorfizmy $(S_3,\circ)\to(\Z_2,+)$.
- Nech $(G,*)$ je ľubovoľná grupa. Dokážte, že zobrazenie $g\mapsto g*g$ je homomorfizmus z $G$ do $G$ práve vtedy, keď $G$ je komutatívna.
- Nech $(G,*)$ je grupa. Dokážte, že zobrazenie $g\mapsto \inv g$ je homomorfizmus z $G$ do $G$ práve vtedy, keď $G$ je komutatívna.
- Dá sa výsledok z predchádajúceho cvičenia použiť na iný dôkaz toho, že $(a_1*a_2*\dots*a_n)^2=e$ platí pre konečnú komutatívnu grupu $G=\{e,\Ldots a1n\}$?
- Nech $\Zobr {f,g}GH$ sú homomorfizmy grúp. Je množina $\{a\in G; f(a)=g(a)\}$ podgrupa grupy $G$?
- Nech $(G,*)$ je grupa. Ukážte, že $(G,*')$ s operáciou definovanou ako
$$x*' y = y*x$$
je tiež grupa a že tieto dve grupy sú izomorfné, t.j. $(G,*)\cong(G,*')$. (Wikipédia: Opposite group) - V tejto úlohe môžete používať fakt, že počet prvkov podgrupy je deliteľ počtu prvkov grupy (Lagrangeova veta) - aj keď tento výsledok dokážeme až neskôr.
a) Nájdite všetky podgrupy grupy $\Z_2\times\Z_4$. Je táto grupa izomorfná s grupou $\Z_8$?
b) Nájdite všetky podgrupy grupy $\Z_3\times\Z_3$. Je táto grupa izomorfná s grupou $\Z_9$? - Ukážte, že grupa $\Z_2\times\Z_5$ je izomorfná s grupou $\Z_{10}$.