\newcommand{\abs}[1]{|#1|}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}
$
- Ktoré z uvedených množín tvoria spolu s obvyklým sčitovaním a násobením pole?
a) $F=\{a+ib; a\in \R, b\in \R, b\geq 0\}$
b) $F=\{a+ib; a\in \Q, b\in \Q\}$
c) $F=\{a+ib; a\in \Z, b\in \Z\}$
d) $F=\{a+b\sqrt{5}; a\in \Q, b\in \Q\}$ (Hint: Môže byť užitočné najprv overiť, že pre $a,b,c,d\in\Q$ platí $a+b\sqrt5=c+d\sqrt5$ p.v.k. $a=c$ a $b=d$.)
e) $F=\{a+\sqrt{3}ib; a\in \Q, b\in \Q\}$
f) $F=\{a+\frac b{\sqrt2}; a,b,c\in\Q\}$
g${}^*$) $F=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\Q\}$ (Hint: Možno pomôže prepísať si túto množinu do tvaru $F=\{a+b\sqrt3; a,b\in F'\}$, kde $F'=\{a+b\sqrt2; a,b\in\Q\}$.)
h${}^*$) $F=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3; a,b,c\in\Q\}$
i${}^*$) $F=\{a+b\sqrt[3]{5}; a\in \Q, b\in \Q\}$
j${}^{**}$) $F=\{a+b\sqrt[3]{2}+c(\sqrt[3]{2})^2; a,b,c\in \Q\}$ (Môže byť pre vás užitočný vzorec $u^3+v^3+w^3-3uvw=(u+v+w)(u^2+v^2+w^2-uv-uw-vw)=\frac12(u+v+w)((u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2)$.)
Táto úloha je naozaj dosť náročná. Snáď je aspoň trochu zaujímavé vedieť, že sa dá vyriešiť pomerne jednoducho, keď už budete mať nejaké vedomosti o báze a dimenzii vektorových priestorov. Podobnými poľami sa budete zaoberať neskôr v druhom ročníku na algebre. Tiež prezradím, že rovnosť $u^3+v^3+w^3-3uvw=(u+v+w)(u^2+v^2+w^2-uv-uw-vw)$ sa okrem manuálneho roznásobenia dá overiť aj použitím vhodného determinantu. O determinantoch sa budeme učiť na lineárnej algebre 1. - V poli $\Z_5$ vyrátajte $\inv 2+4$, $(-2)+4$, $\inv 2+3$ a $-4 \odot \inv 3$.
- Napíšte tabuľku násobenia pre $\Z_4$ a $\Z_6$. Viete nejako zdôvodniť, že $\Z_4$ resp. $\Z_6$ nie sú polia?
- V ľubovoľnom poli $F$ platí:
$a+b=a+c \Rightarrow b=c$
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
$-(-a)=a$
$-0=0$
$-(a+b)=(-a)+(-b)$
$(a-b)c=ac-bc$
$1\ne0$
$a\cdot a=1$ $\Leftrightarrow$ $a=1$ $\lor$ $a=-1$
$a^2=b^2$ $\Leftrightarrow$ $a=b$ $\lor$ $a=-b$
$a\cdot(b_1+\ldots+b_n)=a\cdot b_1+\ldots+a\cdot b_n$ - Na množine $\R^+$ všetkých kladných reálnych čísel zadefinujme operácie $\oplus$ a $\odot$ tak, že $x\oplus y=x\cdot y$ a $x\odot y=x^y$. Ktoré z axióm poľa spĺňa $(\R^+,\oplus,\odot)$?
- Nech na množine $M=\{0,1\}$ sú operácie $+$ a $\cdot$ dané tabuľkami
$$
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{c|cc}
\cdot & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\end{array}
$$
Teda vlastne $+$ je obvyklé sčitovanie v $\Z_2$ a predpis pre násobenie je $a\cdot b=a$.
Ukážte, že $(M,+)$ a $(M\setminus\{0\},\cdot)$ sú komutatívne grupy a že platí distributívny zákon $(a+b)c=ac+bc$. Je $(M,+,\cdot)$ pole? - Zistite, či $(\R,+,\ast)$, kde $+$ je obvyklé sčitovanie reálnych čísel a pre každé $a,b\in\R$ $a\ast b=-2ab$, je pole.
- Na $\R\times\R$ definujeme operácie $+$ a $\cdot$ takto:
a) $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ a $(a,b).(c,d)=(ac,bd)$,
b) $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ a $(a,b).(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$.
c) $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ a $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc-bd)$
d) $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ a $(a,b)\cdot(c,d)=(bd-ac,ad+bc)$
Je potom $(\R\times\R,+,\cdot)$ pole? - Pre ktoré prvky $a$ poľa $\Z_7$ má riešenie rovnica $x^2=a$? Koľko je takých prvkov v poli $\Z_{109}$?
Na cvičeniach si zvykneme ukázať aj rozšírený Euklidov algoritmus, t.j. ako sa dajú vypočítať nájsť pre dané, $a,b\in\mathbb Z$ čísla $u,v\in\mathbb Z$ také, že platí
$$d=au+bv,$$
kde $d=\gcd(a,b)$ je najväčší spoločný deliteľ čísel $a$, $b$. Existenciu takýchto čísel ste využili v dôkaze, že $\Z_p$ je pole pre každé prvočíslo $p$. Tento algoritmus by sa pri väčšom $p$ dal využiť aj na výpočet inverzného prvku v poli $\Z_p$. Stretnete sa s ním aj neskôr -- okrem iného sa analogicky dá postupnosť aj pri výpočte najväčšieho spoločného deliteľa dvoch polynómov. (Nejaké ukážky výpočtu môžete nájsť na fóre: viewtopic.php?t=298.)
- Overte, čí $p$ je prvočíslo. Ak je to prvočíslo, nájdite $\inv x$ v poli $\Z_p$.
a) $p=103$, $x=41$
b) $p=107$, $x=32$
c) $p=109$, $x=61$
d) $p=71$, $x=31$
e) $p=97$, $x=18$ - Pre dané čísla $a,b\in\Z$ vypočítajte $d=\gcd(a,b)$ a nájdite čísla $u,v\in\Z$, pre ktoré platí $au+bv=d$.
a) $a=24$, $b=17$
b) $a=172$, $b=20$
c) $a=60$, $b=17$
d) $a=100$, $b=23$
e) $a=29$, $b=19$
f) $a=80$, $b=62$