Prednášky ZS 2022/23 - vybrané partie z ATA

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (7.11.)
Nejaký čas sme strávili aj organizačnými vecami: viewtopic.php?t=1911
Skonštruovateľné čísla. Ako nejaký stručný úvod som porozprával o tom, že nie všetky reálne čísla vieme zostrojiť z úsečky jednotkovej dĺžky pomocou pravítka a kružidla. Do istej miery aj preto, že niečo o tomto probléme sa dá povedať aj pomocou vlastností spočítateľných množín a niečo sa dá povedať pomocou rozšírení polí - takže sa na tomto probléme dajú ilustrovať dve témy, ktoré sa dajú tento semester vybrať. Stručne je o tom niečo aj tu: viewtopic.php?t=1910
Vektorové priestory. Pripomenuli sme si základné veci o vektorových priestoroch (definícia, lineárna nezávislosť, lineárny obal, báza, dimenzia, $n$-rozmerný vektorový priestor je izomorfný s $F^n$).
Ukázali sme si, že $\mathbb R$ je vektorový priestor nad $\mathbb Q$. Ukázal som aj ako pomocou kardinality vieme ukázať, že tento priestor nie je konečnorozmerný. (Iný možný argument - bez využitia vedomostí o kardinalite - je ako jedna z domácich úloh.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška (14.11.)
Relácie ekvivalencie.
Definícia relácie ekvivalencie a pár jednoduchých príkladov.
Každá relácia ekvivalencie dáva rozklad. Obrátene, z rozkladu vieme vyčítať pôvodnú reláciu.
Okruhy.
Definícia okruhu a súvisiacich pojmov (komutatívny okruh, okruh s jednotkou, obor integrity).
Niektoré jednoduché príklady.
Okrem číselných množín (s obvyklým sčitovaním a násobením) sme spomenuli aj matice rozmerov $2\times2$ a na konci ešte okruh $(\mathcal P(X),\triangle,\cap)$.
Homomorfizmus okruhov.
Ideály.
Definícia ideálu. V poli máme iba triviálne ideály.
Hlavný ideál. (Neskôr ukážeme, že v $\mathbb Z$ aj v $F[x]$ sú všetky ideály hlavné.)
Jadro homomorfizmu je ideál.

[Martin Sleziak]

3. prednáška (21.11.)
Okruh celých čísel

[Martin Sleziak]

4. prednáška (28.11.)
Okruh polynómov.
Polynómy sme definovali ako polynomické funkcie. (Neskôr sme sa vrátili k tomu, že pre konečné polia by sme museli pracovať trochu inak.)
$(F[x],+,\cdot)$ je komutatívny okruh s jednotkou. Veta o delení so zvyškom. Deliteľnosť v okruhu $F[x]$.
Korene polynómov. Počet koreňov neprevyšuje stupeň polynómu. (A teda v nekonečnom poli dostaneme nulovú funkciu iba vtedy, ak sú všetky koeficienty nulové.)
Vzťah medzi deliteľnosťou a ideálmi. Každý ideál v $F[x]$ je hlavný.
Najväčší spoločný deliteľ - definícia, charakterizácia ako generátor ideálu, Bézoutova identita.
Kongruencie polynómov - definícia a základné vlastnosti.
Faktorový okruh $F[x]/(h(x))$.
Definícia, triedy sa dajú reprezentovať polynómami stupňa menšieho ako $\operatorname{st} h(x)$.
Na $F[x]/(h(x))$ máme dobre definované binárne operácie a dostaneme takto komutatívny okreh s jednotkou.
Ireducibilné polynómy.
Definícia ireducibilných polynómov. Ak $p(x)\mid f(x)$, tak $\gcd(f(x),p(x))=1$.
Ak $p(x)$ je ireducibilný polynóm, tak $F[x]/(p(x))$ je pole. (Zatiaľ sme sa nepozerali na to, že toto pole obsahuje podpole izomorfné s $F$ a že v ňom polynóm $p(x)$ má koreň - k týmto veciam sa časom vrátime.)

[Martin Sleziak]

5. prednáška (5.12.)
Pole $\mathbb R[x]/(x^2+1)$ je izomorfné s $\mathbb C$.
Pole
Minimálny polynóm.
Definícia minimálneho polynómu, je to generátor ideálu $\{f(x)\in F[x]; f(u)=0\}$.
Platí $f(u)=0$ $\Leftrightarrow$ $m(x)\mid f(x)$. Platí $f(u)=g(u)$ $\Leftrightarrow$ $f(x) \equiv g(x) \pmod{m(x)}$.
Minimálny polynóm je ireducibilný.
Popis $F(u)$ pomocou minimálneho polynómu.
Stupeň rozšírenia.
Ak $K$ je rozšírenie poľa $F$, tak je to vektorový priestor nad $F$.
Definícia konečného rozšírenia a $[K:F]$.
Konkrétne príklady.
Strávili sme nejaký čas najmä s $\mathbb Q(\sqrt2)$ a $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$. Videli sme, že sme dostali rozšírenie stupňa $4$.
Platí $[K:F]=[K:L]\cdot[L:F]$. Ako dôsledok dostávame, že $[u:F] \mid [K:F]$. (Stupeň minimálneho polynómu každého prvku musí deliť stupeň rozšírenia.)
Dôkaz tvrdenia, že $[K:F]=[K:L]\cdot[L:F]$ sme nerobili všeobecne - je však podobný ako to, čo sme videli pre $K=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$, $L=\mathbb Q(\sqrt2)$ a $F=\mathbb Q$.
Ireducibilné polynómy.
Pozreli sme sa na polynóm $f(x)=x^4+1$ a jeho rozklad v $\mathbb Q[x]$, $\mathbb R[x]$ a $\mathbb C[x]$.
Videli sme, že v $\mathbb R[x]$ to je príklad polynómu, ktorý nemá korene, ale je reducibilný.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (12.12.)
Na začiatku sme sa pozreli na to, že $\sqrt6\ne a+b\sqrt2+c\sqrt3$ pre racionálne $a$, $b$, $c$. (T.j. vlastne d.ú.; a súčasne to súvisí s tým, čo sme robili minule pre $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$.)
Skonštruovateľné čísla.
Pripomenuli sme, že vieme skonštruovať všetky racionálne čísla, čísla tvaru $x\pm y$, $x\cdot y$, $\sqrt{xy}$. (Pri tom sme spomenuli, ako vieme dostať $v^2=c_ac_b$, $a^2=c_ac$ a $b^2=c_bc$ a že takto dostaneme pomerne krátky dôkaz Pytagorovej vety.)
Ukázali sme, že pre každé skonštruovateľné číslo platí $[u:\mathbb Q]=2^n$.
Čísla $\sqrt[2]3$ a $\cos\frac\pi9$ nie sú skonštruovateľné. (Pri tom sme pripomenuli ako vieme dostať vzorec pre $\cos3x$ a $\sin3x$.)
Ak vieme, že $\pi$ je transcendentné, tak dostávame že $\pi$ ani $\sqrt\pi$ nie sú skonštruovateľné.
Konečné polia.
Ak vezmeme $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$, tak dostaneme štvorprvkové pole.
Definovali sme charakteristiku poľa a ukázali, že pre každé konečné pole je počet prvkov rovný $p^n$, t.j. je to mocnina prvočísla.
Fakt, že pre každé $p^n$ existuje pole a je až na izomorfizmus jednoznačné sme spomenuli bez dôkazu. (Dôkaz by nebol úplne krátky.)