Skonštruovateľné čísla

[Martin Sleziak]

Do istej miery ako úvod (a stručnú motiváciu) k niektorým témam, ktorými sa budeme možno zaoberať, sme si povedali niečo o tom, aké reálne čísla sa dajú skonštruovať pravítkom a kružidlom z úsečky jednotkovej dĺžky.

V podstate sú pre nás dôležité fakty, že:

• Ak vieme zostrojiť dĺžky $a$, $b$, tak vieme zostrojiť aj $a\pm b$, $a\cdot b$, a aj $\frac ab$ pre $b\ne0$.
• Z toho vidíme, že skonštruovateľné čísla tvoria pole.
• Ak už máme nejaké body, môžeme z nich vytvárať kružnice a priamky a dostať nové priesečníky.
• Súradnice bodov, ktoré dostaneme, sú riešenia kvadratických rovnic, kde koeficienty sú dĺžky zostrojené v predošlých krokoch. (Napríklad vieme pridávať odmocniny - to je prvá d.ú.)
• V každom kroku pridávame iba konečne veľa bodov.

Nie všetky reálne čísla sa dajú takto skonštruovať. A niektoré témy, ktorým by sme sa mohli na tomto predmete venovať, nám môžu pomôcť ukázať, že sa niektoré dĺžky zostrojiť nedajú.

Na poriadne zdôvodnenie bude samozrejme treba nejakú prípravu - ale na tomto mieste aspoň stručne môžeme naznačiť, o čo sa takéto argumenty dajú oprieť.

Skonštruovateľných čísel je iba spočítateľne veľa
Ak sa naučíme niečo o kardinalite, tak budeme poznať aj pojem spočítateľnej množiny. To je množina, ktorá je konečná alebo existuje bijekcia medzi touto množinou a $\mathbb N$.
Napríklad si ukážeme, že:

• Zjednotenie spočítateľne veľa spočítateľných (konečných) množín ja opäť spočítateľná množina.
• Množina $\mathbb R$ všetkých reálnych čísel nie je spočítateľná.

Ak máme k dispozícii tieto fakty, tak už vidíme, že nie všetky reálne čísla sa dajú takýmto spôsobom skonštruovať.
Každú dĺžku totiž dostaneme pomocou konečne veľa krokov. A v každom kroku pridáme iba konečne veľa nových bodov.
Teda po $n$-tom kroku máme množinu $K_n$, ktorá je konečná a množina všetkých skonštruovateľných dĺžok je $K=\bigcup\limits_{n=0}^\infty K_n$, je to teda spočítateľná podmnožina reálnych čísel.
Pretože reálne čísla nie sú spočítateľné, existujú aj čísla patriace do $\mathbb R\setminus K$, t.j. dĺžky, ktoré sa nedajú skonštruovať.

Tiež si môžeme všimnúť, že takýmto spôsobom sme síce ukázali, že existujú nejaké dĺžky, ktoré sa nedajú skonštruovať - ale bez toho, aby sme o nejakom konkrétnom reálnom čísle vedeli povedať, že

Minimálny polynóm má stupeň $2^n$

Ak sa naučíme niečo o poliach, dá sa to využiť napríklad na zdôvodnenie, že $\sqrt[3]2$ a niektoré ďalšie čísla nie sú skonštruovateľné.
Konštrukcia úsečky dĺžky $\sqrt[3]2$ súvisí s problémom známym ako zdvojenie kocky.

Užitočné fakty sú, že množina $K$ všetkých skonštruovateľných dĺžok tvorí pole a $\mathbb Q\subseteq K\subseteq\mathbb R$.
Pre každé číslo $u\in K$ existuje jeho minimálny polynóm $m_u(x)$, t.j. polynóm najmenšieho možného stupňa, ktorý má racionálne koeficienty a $u$ je jeho koreňom.

• Všimnime si, že vieme zostrojiť napríklad dĺžky ako $\sqrt2$, $\sqrt[4]2$, $\sqrt[8]2$.
• Okrem operácii existujúcich v každom poli vieme ešte z už zostrojených dĺžok zostrojiť odmocniny.
• Minimálny polynóm takejto dĺžky bude mať vždy stupeň $2^n$. (Napríklad pre čísla spomenuté vyššie máme minimálne polynómy $x^2-2$, $x^4-2$, $x^8-2$.)
• Teda napríklad číslo $\sqrt[3]2$, ktoré má minimálny polynóm $x^3-2$, sa nedá zostrojiť.