Ak $g\circ f$ je injektívne, tak aj $f$ je injektívne.

[Martin Sleziak]

Rozhodnite, či dané tvrdenie platí. Ak áno, dokážte ho. Ak nie, nájdite konkrétny kontrapríklad.$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}$
a) Nech $\Zobr fXY$ a $\Zobr gYZ$ sú zobrazenia. Ak $g\circ f$ je injektívne, tak aj $g$ je injektívne.
b) Nech $\Zobr fXY$ a $\Zobr gYZ$ sú zobrazenia. Ak $g\circ f$ je injektívne, tak aj $f$ je injektívne.

Tvrdenie v časti a) neplatí, ku kontrapríkladu iba pridám linky:
viewtopic.php?t=735
viewtopic.php?t=493

Ďalej sa teda budem venovať časti b) - tvrdenie uvedenie v tejto častí platí.

Pridám aj zopár liniek, kde sa dá takýto dôkaz nájsť.

• Mathematics Stack Exchange: Composite functions and one to one
• ProofWiki: Injection if Composite is Injection

Ale je dosť krátky na to, aby som ho sem napísal aj celý.

Tvrdenie. Nech $\Zobr fXY$ a $\Zobr gYZ$ sú zobrazenia. Ak $g\circ f$ je injektívne, tak aj $f$ je injektívne.

Dôkaz.
Predpokladajme, že $x_{1,2}\in X$ a platí $$f(x_1)=f(x_2).$$
Potom platí aj rovnosť $g(f(x_1))=g(f(x_2)).$
Z injektívnosti zobrazenia $g\circ f$ potom dostaneme, že $$x_1=x_2.$$
Ukázali sme, že z rovnosti $f(x_1)=f(x_2)$ vyplýva $x_1=x_2$ - to je presne definícia injektívnosti. $\square$

Niektorí ste sa rozhodli dokazovať obmenenú implikáciu - takýto dôkaz bude tiež dosť pomerne jednoduchý.
Dôkaz.
Chceme ukázať, že ak $f$ nie je injektívne, tak ani $g\circ f$ nie je injektívne.
Predpokladajme teda, že $\Zobr fXY$ nie je injektívne.
To znamená, že existujú $x_{1,2}\in X$ také, že $x_1\ne x_2$ a súčasne $f(x_1)=f(x_2)$.
Pre tieto body ale potom máme aj $g(f(x_1))=g(f(x_2))$.
Ukázali sme existenciu takých prvkov definičného oboru, pre ktoré platí $x_1\ne x_2$ a súčasne
$$g\circ f(x_1)=g\circ f(x_2).$$
To znamená, že $g\circ f$ naozaj nie je injektívne. $\square$

[Martin Sleziak]

Komentáre k veciam z niektorých riešení$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}$

Odkiaľ a kam ideme
Oplatí sa napísať odkiaľ a kam zobrazenie ide (aký je obor a aký je koobor).
Napríklad ak ste ako kontrapríklad na časť a) dali:
\begin{align*}
f(x)&=e^x\\
g(x)&=x^2
\end{align*}
tak by niekto, kto by do toho chcel moc rýpať, mohol povedať: Ak sa pozeráme na tieto predpisy ako na funkcie $\Zobr{f,g}{(0,\infty)}{(0,\infty)}$, tak $g\circ f$ aj $g$ sú injektívne a teda to nie je kontrapríklad.
Zrejme ste to ale mysleli tak, že beriete zobrazenie $\Zobr{f,g}{\mathbb R}{\mathbb R}$.
Tu už je pravda, že $g\circ f$ je injektívne. (Je to zobrazenie $g(f(x))=(e^x)^2=e^{2x}$.)
A súčasne $g$ nie je injektívne. Takže je to naozaj taký kontrapríklad ako chceme.

Negácia injektívnosti
Viacerí ste robili nepriamy dôkaz, teda ste tam potrebovali použiť, že nejaké zobrazenie nie je injektívne.
Tu ma trochu zarazilo, keď som si v jednom z odovzdaných riešení prečítal:

$f$ nie je injektívne: $x_1\ne x_2$ $\Rightarrow$ $f(x_1)=f(x_2)$

Toto určite nie je správne znegovaná injektívnosť.

Čo to znamená, že zobrazenie nie je injektívne?
Je to vtedy, ak existujú nejaké dva body v definičnom obore, ktoré sa zobrazia na to isté.
Alebo zapísané formálnejšie:
\begin{gather*}
f\colon X\to Y\text{ je injektívne } \Leftrightarrow (\forall x_{1,2} \in X) f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2\\
f\colon X\to Y\text{ nie je injektívne } \Leftrightarrow (\exists x_{1,2} \in X) f(x_1)=f(x_2) \land x_1\ne x_2
\end{gather*}
Ak si pamätám jednoduché pravidlá o tom, že ako negujem implikáciu a ako negujem kvantifikátory, tak vidím, že to vychádza takto. (Ale vlastne aj bez toho, aby sa človek naučil takéto mechanické prepisovanie, mal by to sedieť aj keď sa človek na to pozrie iba takým zdravým sedliackym rozumom.)