Mám k tomuto niečo aj v starších topicoch - tie odkryjem až neskôr; mám tam pokope niečo k viacerým úlohám, niektoré z nich ešte neboli zadané.Rozhodnite, či takéto tvrdenie platí. Ak áno, tak ho dokážte. Ak nie, tak nájdite kontrapríklad. $\newcommand{\abs}[1]{|#1|}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand\Zobr[3]{{#1}\colon{#2}\to{#3}}\newcommand\Obr[2]{{#1}[#2]}\newcommand\Zobrto[3]{{#1}\colon{#2}\mapsto{#3}}$
Ak $A$, $B$ sú ľubovoľné množiny, tak platí
$$\abs{A}+\abs{B}=\abs{A\cup B}+\abs{A\cap B}.$$
Riešenie.
Stačí si uvedomiť, že $A=(A\cap B)\cup(A\setminus B)$, $B=(A\cap B)\cup(B\setminus A)$ a $A\cup B=(A\setminus B)\cup(A\cap B)\cup(B\setminus A)$.
Keďže tu ide o zjednotenia disjunktných množín, tak platí rovnosť pre kardinality; t.j. $\abs{A}=\abs{A\cap B}+\abs{A\setminus B}$, $\abs{B}=\abs{A\cap B}+\abs{B\setminus A}$ a $\abs{A\cup B}=\abs{A\setminus B}+\abs{A\cap B}+\abs{B\setminus A}$. Teraz už stačí sčítať $\abs{A}$ a $\abs{B}$ a porovnať s tým, čo dostaneme keď sčítame $\abs{A\cup B}+\abs{A\cap B}$.
\begin{align*}
\abs A + \abs B
&=(\abs{A\cap B}+\abs{A\setminus B})+(\abs{B\setminus A}+\abs{A\cap B})\\
&=(\abs{A\cap B}+\abs{A\setminus B}+\abs{B\setminus A})+\abs{A\cap B}\\
&=\abs{A\cup B}+\abs{A\cap B}
\end{align*}
Poznamenám, že v riešení sme využili asociatívnosť sčitovania. (A podľa toho ako ho zapíšeme, možno aj komutatívnosť.)
Tieto dve vlastnosti pre sčitovanie kardinálov asi vidno vcelku ľahko.
Iné riešenie.
Budeme používať $\abs{X}+\abs{Y}=\abs{X\times\{0\} \cup Y\times\{1\}}$.
Teda sa pýtame, či sa rovnajú tieto dve kardinality:
\begin{align*}
\abs{A}+\abs{B}&=\abs{A\times\{0\}\cup B\times\{1\}}\\
\abs{A\cup B}+\abs{A\cap B}&=\abs{(A\cup B)\times\{0\} \cup (A\cap B)\times\{1\}}
\end{align*}
Na to úplne stačí nájsť nejakú bijekciu
$$\Zobr f{A\times\{0\}\cup B\times\{1\}}{(A\cup B)\times\{0\} \cup (A\cap B)\times\{1\}}.$$
Tú môžeme dostať jednoducho tak, že veci z $B\times\{1\}$ budeme zobrazovať podľa toho, či patria alebo nepatria do $(A\cap B)\times\{1\}$.
Teda pre ľubovoľné $a\in A$, $b\in B$ definujeme:
\begin{align*}
f(a,0)&=(a,0)\\
f(b,1)&=
\begin{cases}
(b,0) & \text{ak }b\notin A, \\
(b,1) & \text{ak }b\in A.
\end{cases}
\end{align*}
Tento predpis skutočne dáva zobrazenie medzi danými množinami. (Máme ako obrazy prvky tvaru $(b,1)$ iba pre $b\in A\cap B$.)
A dá sa presvedčiť aj o tom, že to je bijekcia - nemalo by to byť ťažké, nebudem tu rozpisovať detaily.