Rovnosť $(\aleph_0)^{2^{\mathfrak c}}=2^{2^{\mathfrak c}}$

[Martin Sleziak]

V úlohe du06 sa vyskytla takáto otázka - napíšem sem aspoň niečo k možnému riešeniu.$\newcommand{\alnul}{\aleph_0}\newcommand{\mfrc}{\mathfrak c}$

Presnejšie povedané, úloha bola zistiť čomu sa rovná $\alnul^{2^\mfrc}$ a vyjadriť ho ako niektoré z kardinálnych čísel $\alnul,\mfrc,2^\mfrc,2^{2^\mfrc},\ldots$

Z nerovnosti $2\le\alnul$ máme (ak obe strany umocníme na $2^\mfrc$) aj nerovnosť
$$2^{2^\mfrc}\le(\alnul)^{2^\mfrc}.\tag{1}$$
Stačí nám teda dokázať opačnú nerovnosť a potom z Cantor-Bernsteinovej vety vieme, že platí rovnosť.

Z vlastností kardinálneho umocňovania vieme, že platí
$$(\alnul)^{2^\mfrc}\le 2^{\alnul\cdot 2^\mfrc}.\tag{2a}$$
(Dostaneme to napríklad umocnením nerovnosti $\alnul\le2^{\alnul}$ na to isté číslo a úpravou. Alebo priamo z toho, že pre ľubovoľné kardinálne čísla $a$, $b$ platí $a^b\le2^{ab}$.)

Súčasne máme
$$\alnul\cdot 2^\mfrc \le 2^{\alnul} \cdot 2^\mfrc=2^{\alnul+\mfrc}=2^\mfrc,\tag{2b}$$
pričom v poslednom kroku sme využili, že máme $\mfrc\ge\alnul$, a teda $\alnul+\mfrc=\mfrc$.

Z nerovností $(2a)$ a $(2b)$ spolu dostaneme
$$(\alnul)^{2^\mfrc} \le 2^{2^\mfrc}.\tag{2}$$
A ako sme už spomenuli, nerovnosti $(1)$ a $(2)$ nám (na základe Cantor-Bernsteinovej vety) dávajú presne hľadanú nerovnosť.