Rovnosť $2^\mathfrak c\cdot 2^{2^\mathfrak c}=2^{2^{\mathfrak c}}$

[Martin Sleziak]

V úlohe du06 sa vyskytla takáto rovnosť - dá sa zdôvodniť rôznymi spôsobmi, aspoň niečo tu napíšem.$\newcommand{\alnul}{\aleph_0}\newcommand{\mfrc}{\mathfrak c}$

Resp. úloha bola nájsť hodnotu kardinálneho čísla $2^\mathfrak c\cdot 2^{2^\mathfrak c}$. My však z Cantorovej vety vieme, že platí $2^\mfrc<2^{2^\mfrc}$, a teda
$$2^\mathfrak c\cdot 2^{2^\mathfrak c} = \max\{2^\mathfrak c,2^{2^\mathfrak c}\} = 2^{2^\mfrc},$$
takže tento súčin sa rovná $2^{2^\mfrc}$. Chceli by sme však dôkaz využívajúci iba tie veci, ktoré sme aj dokázali. (T.j. chceme to zdôvodniť bez používania rovnosti $\mu\cdot\varkappa=\max\{\mu,\varkappa\}$; o tejto rovnosti sme síce spomenuli, že platí pre ľubovoľné kardinály $\mu,\varkappa\ge\alnul$; bolo to ale bez dôkazu.)

Podobne ako pri iných úlohách, opäť sa oplatí uvedomiť si, že máme "zadarmo" nerovnosť
$$2^{2^\mfrc}\le 2^\mfrc \cdot 2^{2^\mfrc}.\tag{1}$$
Takže nám stačí nejako zdôvodniť opačnú nerovnosť
$$2^\mfrc \cdot 2^{2^\mfrc} \le 2^{2^\mfrc}\tag{2}$$
a využiť Cantor-Bernsteinovu vetu.

Na zdôvodnenie nerovnosti $(2)$ máme veľa možností.

Napríklad z Cantorovej vety máme $2^{\mfrc}\le 2^{2^\mfrc}$, a teda dostaneme
$$2^\mfrc \cdot 2^{2^\mfrc} \le 2^{2^\mfrc} \cdot 2^{2^\mfrc} = (2^{2^\mfrc})^2 = 2^{2\cdot2^\mfrc} = 2^{2^{1+\mfrc}} = 2^{2^\mfrc}.$$
Tým sme skutočne dokázali nerovnosť $(2)$.

Alebo môžeme ľavú stranu z $(2)$ upraviť ako
$$2^\mfrc\cdot2^{2^\mfrc}=2^{\mfrc+2^\mfrc}$$
a potom sa snažiť ukázať rovnosť $\mfrc+2^\mfrc=2^\mfrc$.

Resp. úplne nám stačí nerovnosť $\mfrc+2^\mfrc\le2^\mfrc$, ktorú vieme dostať ako
$$\mfrc+2^\mfrc\le2^\mfrc+2^\mfrc=2\cdot2^\mfrc=2^{1+\mfrc}=2^\mfrc.$$