Tu sú linky komentáre k takejto úlohe z minulých rokov:
- $\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\C}{\mathbb C}\newcommand{\alnul}{\aleph_0}\newcommand{\mfr}[1]{\mathfrak{#1}}\newcommand{\abs}[1]{|#1|}$Nájdite kardinalitu danej množiny:
a) $\C\times\Q$; b) $\Q\times\R$; c) $\R\times\N$; d) $\Q\times\Q$;- Nájdite kardinalitu danej množiny:
a) $\Q^{\Q}$; b) $\Q^{\R}$; c) $\R^{\N\times\N}$; d) $\C^{\Q}$;
viewtopic.php?t=564
viewtopic.php?t=393
Vlastne ide opäť iba o výpočty kardinálnych čísel:
- $\abs{\Q\times\Q}=\alnul\cdot\alnul$
- $\abs{\C\times\Q}=\abs{\Q\times\R}=\abs{\R\times\N}=\mfr c\cdot\alnul$
- $\abs{\Q^{\Q}}=\alnul^{\alnul}$
- $\abs{\Q^{\R}}=\alnul^{\mfr c}$
- $\abs{\C^{\Q}}=\mfr c^{\alnul}$
- $\abs{\R^{\N\times\N}}=\mfr c^{\alnul\cdot\alnul}$
- $\alnul\cdot\alnul=\alnul$ je rovnosť, ktorá bola dokázaná na prednáške.
- $\mfr c\cdot\alnul=\mfr c$ lebo $$\mfr c\le \mfr c\cdot\alnul \le \mfr c\cdot\mfr c=2^{\alnul}\cdot 2^{\alnul} = 2^{\alnul+\alnul} = 2^{\alnul}.$$
- $\alnul^{\alnul}=2^{\alnul}=\mfr c$ lebo $$2^{\alnul} \le \alnul^{\alnul} \le 2^{\alnul\cdot\alnul}=2^{\alnul}.$$
- $\mfr c^{\alnul}=\mfr c$ lebo $$\mfr c^{\alnul}=(2^{\alnul})^{\alnul}=2^{\alnul\cdot\alnul}=2^{\alnul}.$$
- $\mfr c^{\alnul\cdot\alnul}=\mfr c^{\alnul}=\mfr c$