Úloha 5.1.3. $(A+B)^T = A^T + B^T$ a $(A^T)^T = A$.

[TokarovaMichaela]

Nech matice $A$ a $B$ sú rovnakého typu. Dokážte, že potom $\left( A + B \right)^T = A^T + B^T $ a $ \left(A^T\right)^T = A.$ Čomu sa rovná $\left( c_1A + c_2B\right)^T$ ?
Vieme, že: ak $A = \begin {Vmatrix}
a_{ij}
\end {Vmatrix}$ tak $A^T =\begin {Vmatrix}
a_{ji}
\end {Vmatrix} $
Potom $\left( A + B \right)^T = \left( \begin {Vmatrix} a_{ij} \end {Vmatrix} + \begin {Vmatrix} b_{ij} \end {Vmatrix} \right) ^T= \begin {Vmatrix} a_{ij} + b_{ij} \end {Vmatrix} ^T = \ $(z definície transponovanej matice) $ =\begin {Vmatrix} a_{ji} + b_{ji} \end {Vmatrix} = $ (z def. sčítania matíc) $ = \begin {Vmatrix} a_{ji} \end {Vmatrix} + \begin {Vmatrix} b_{ji} \end {Vmatrix} = \begin {Vmatrix} a_{ij} \end {Vmatrix}^T + \begin {Vmatrix} b_{ij} \end {Vmatrix}^T = A^T + B^T $
Dokázáli sme teda prvú rovnosť.

2.: $\left(A^T\right)^T = (\begin {Vmatrix} a_{ij} \end {Vmatrix} ^T) ^T = \begin {Vmatrix} a_{ji} \end {Vmatrix}^T = \begin {Vmatrix} a_{ij} \end {Vmatrix} = A$

3.: $\left( c_1A + c_2B\right)^T = \left( c_1 * \begin {Vmatrix} a_{ij} \end {Vmatrix} + c_2 * \begin {Vmatrix} b_{ij} \end {Vmatrix} \right)^T = $ (z def. násobenia matíc skalárom) $
= \left( \begin {Vmatrix} c_1 * a_{ij} \end {Vmatrix} + \begin {Vmatrix} c_2 * b_{ij} \end {Vmatrix} \right)^T
= \left( \begin {Vmatrix} c_1 * a_{ij} + c_2 * b_{ij} \end {Vmatrix} \right)^T
= \begin {Vmatrix} c_1 * a_{ji} + c_2 * b_{ji} \end {Vmatrix}
= \begin {Vmatrix} c_1 * a_{ji} \end {Vmatrix} + \begin {Vmatrix} c_2 * b_{ji} \end {Vmatrix} \\
= c_1 * \begin {Vmatrix} a_{ji} \end {Vmatrix} + c_2 * \begin {Vmatrix} b_{ji} \end {Vmatrix}
= c_1 * \begin {Vmatrix} a_{ij} \end {Vmatrix}^T + c_2 * \begin {Vmatrix} b_{ij} \end {Vmatrix}^T = c_1 * A^T + c_2 * B^T $
$ \left( c_1A + c_2B\right)^T $ sa teda rovná $ c_1 * A^T + c_2 * B^T$

OK, 1 bod

[Martin Sleziak]

Upravil som názov topicu tak, aby tam okrem čísla bolo aj niečo, z čoho je približne vidno o čom je daná úloha. (Môže byť užitočné pre vašich kolegov, ak napríklad budú hľadať na fóre riešenie niektorého konkrétneho príkladu. Čiže všeobecne je fajn dávať aspoň trochu deskriptívne názvy.)

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod
(pre istotu aj takto)