Úloha 4.2.1: Dôsledok 4.2.9 $\bigcap\limits^n_{i=1}S_i$ je podpriestor

[MatusDuchyna]

Dôsledok 4.2.9: Nech $n \in \mathbb{N}$. Ak $S_1, S_2, \dots, S_n$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$, tak aj $\bigcap^n_{i=1} S_i$ je podpriestor priestoru V.

Matematickou indukciou vzhľadom na $n$ dokážeme, že ak $S_1, S_2, \dots, S_n$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$ , tak aj $\bigcap\limits^n_{i=1}S_i$ je podpriestor priestoru $V$ pre všetky $n \in \mathbb{N}$.

$n=1$ je triviálny prípad.
$n=2$ vyplýva z vety 4.2.8. zo skrípt.
Predpokladajme, že platí indukčný predpoklad pre $n = 1, 2, \dots, k$. Dokážeme, že potom platí aj pre $n=k+1$.
Položme $P_k = \bigcap^k_{i=1}S_k$. Z indukčného predpokladu vieme, že $P_k$ je podpriestor priestoru $V$. Potom
$$\bigcap\limits^{k+1}_{i=1}S_i = (\bigcap\limits^k_{i=1}S_i) \cap S_{k+1} = P_k \cap S_{k+1}\text{.}$$
Z vety 4.2.8. potom vyplýva, že $P_k \cap S_{k+1}$ je podpriestor priestoru $V$, takže aj $\bigcap\limits^{k+1}_{i=1}S_i$ je podpriestor $V$. $\square$

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod

vyplýva sa píše s ý

Pri indukci tohoto typu stačí predpokladať, že tvrdenie platí pre $n=k$ a dokážete, že to platí pre $n=k+1$. Ale tá forma, ano ste to napísali je samozrejme tiež v správne.