5.3.5. Ak $\vec{\alpha}_1, \ldots, \vec{\alpha}_n $ sú LZ, tak aj $ f(\vec{\alpha}_1), \ldots, f(\vec{\alpha}_n)$ sú LZ

[alex.diko]

Úloha 5.3.5.
$\text{Nech } V \text{ a } W \text{ sú vektorové priestory nad poľom } F \text{ a } f :
V \rightarrow W \text{ je lineárne zobrazenie. Ak } \vec{\alpha}_1, \ldots,
\vec{\alpha}_n \text{ sú lineárne závislé vektory, tak aj }$
$ f(\vec{\alpha}_1), \ldots, f(\vec{\alpha}_n) \text{ sú lineárne závislé vektory.}$

Podľa definície 4.3.9. $\text{existujú } c_1, \ldots, c_n \in F \text{, ktoré nie sú všetky nulové a platí } c_1
\vec{\alpha}_1 + \ldots + c_n \vec{\alpha}_n = \vec{0}.$ Predpokladajme,
že $c_i\neq0$. Označme $\vec{\beta} = c_1 \vec{\alpha}_1 +
\ldots + c_n \vec{\alpha}_n$. Keďže $\vec{\beta}=\vec0$, podľa tvrdenia 5.3.6. $f(\vec{\beta}) = \vec0$.
Teda $\vec0=f(c_1
\vec{\alpha}_1 + \ldots + c_n \vec{\alpha}_n) = c_1f(\vec{\alpha_1})+\ldots+
c_if(\vec{\alpha_i}) + \ldots+c_nf(\vec{\alpha_n})$ (Veta 5.3.5 c.) )

Teda máme $c_i\neq0$, pre ktoré je lineárna kombinácia $f(\vec{\alpha}_1),
\ldots, f(\vec{\alpha}_n)$ nulová, teda sú lineárne závislé.

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod