Úloha 4.1.2 Ukážte, že F je vektorový priestor nad F

[TokarovaMichaela]

Ukážeme, že toto tvrdenie platí pre ľubovoľné pole F.
Aby F bol vektorový priestor, potom musí platiť:
a) $\left(F, + \right) $ je komutatívna grupa
b) $c \cdot\left( \vec{\alpha} + \vec{\beta} \right) = c\cdot\vec{\alpha} + c\cdot\vec{\beta}$
c) $\left( c + d \right) \cdot \vec{\alpha} = c\cdot \vec{\alpha} + d.\vec{\alpha}$
d) $\left( c \cdot d \right) \cdot \vec{\alpha} = c\cdot \left(d \cdot \vec{\alpha} \right)$
e) $1. \vec{\alpha} = \vec{\alpha} $

Vieme, že F je pole, teda platia v ňom vlastnosti:
$1.\left(F, + \right) $ je komutatívna grupa
$2. \left( F \setminus \{0 \}, \cdot \right)$ je komutatívna grupa
$3.\ a \cdot \left( b + c \right) = a \cdot b + a \cdot c \ $ a $\ \left( a + b \right) \cdot c = a \cdot c +b\cdot c$

a) Vlastnosť a) je splnená, pretože F je pole a teda $ \left(F, + \right) $ tvorí komutatívnu grupu
b) Pri vlastnosti b) keďže $c, \vec{\alpha} $ aj $ \vec{\beta} $ patria poľu F, môžeme na ne uplatniť vlastnosť poľa (3.), čím dostaneme $c \cdot \vec{\alpha} + c \cdot \vec{\beta} $ Platí teda aj vlastnosť b).
c) Keďže $c, d $ aj $\vec{\alpha}$ patria F (podľa definície vektorového priestoru, kde v našom prípade V = F), opäť na ne aplikujeme vlastnosť 3, čím dostaneme $\left( c + d \right) \cdot \vec{\alpha} = c\cdot \vec{\alpha} + d.\vec{\alpha}$
d) Vlastnosť d) platí pre ľubovoľné pole F, pretože F spolu s operáciou $\cdot$ tvorí komutatívnu grupu, teda operácia $ \cdot $ je asociatívna a zároveň prvky $c, d, \vec{\alpha} $ patria poľu F, preto sa na ne táto asociativita vzťahuje JG: Priamo z definície poľa (teda bod 2, ktorý uvádzate vyššie) platí asociativita pre násobenie nenulových(!!!) prvkov. Čo keď sú niektoré z $c,d$, $\vec\alpha$ nuly? Vtedy sa nemôžete odvolať na asociativitu z definície grupy $ \left( F \setminus \{0 \}, \cdot \right)$. Toto ešte doriešte.
Ak je niektorý z prvkov $ c,d$, $\vec\alpha $ nulový, využijeme (dokázané) tvrdenie 3.3.4 (i) ($ a \cdot 0 = 0,\ 0 \cdot a = 0 $ kde $a \in F $ )
(Keďže $\vec{\alpha} \in F$, aj nulový vektor budeme označovať ako $0$)
Ak $ c \in F $ je nulové, potom: $\left( c \cdot d \right) \cdot \vec{\alpha} = \left( 0 \cdot d \right) \cdot \vec{\alpha} = \left( 0 \right) \cdot \vec{\alpha} = 0 \ $ a $\ c\cdot \left(d \cdot \vec{\alpha} \right) = 0 \cdot \left(d \cdot \vec{\alpha} \right) = 0 $ teda $ \left( c \cdot d \right) \cdot \vec{\alpha} = c\cdot \left(d \cdot \vec{\alpha} \right) $
Ak $d$ je nulové: $ \left( c \cdot d \right) \cdot \vec{\alpha} = \left( c \cdot 0 \right) \cdot \vec{\alpha} = \left( 0 \right) \cdot \vec{\alpha} = 0 \ $ a $\ c\cdot \left(d \cdot \vec{\alpha} \right) = c\cdot \left(0 \cdot \vec{\alpha} \right) = c \cdot \left( 0 \right) = 0 $ teda $ \left( c \cdot d \right) \cdot \vec{\alpha} = c\cdot \left(d \cdot \vec{\alpha} \right) $
Ak $ \vec{\alpha} $ je nulové: $ \left( c \cdot d \right) \cdot \vec{\alpha} = \left( c \cdot d \right) \cdot 0 = 0 \ $ a $\ c\cdot \left(d \cdot \vec{\alpha} \right) = c\cdot \left(d \cdot 0 \right) = c \cdot \left( 0 \right) = 0 $ čiže aj vtedy $ \left( c \cdot d \right) \cdot \vec{\alpha} = c\cdot \left(d \cdot \vec{\alpha} \right) $
Asociativita teda platí bez ohľadu na to, či prvky $ c, d, \vec{\alpha}$ sú alebo nie sú nulové.
e) Vektor $ \vec{\alpha}$ patrí poľu F, v ktorom 1 je neutrálny prvok vzhľadom na násobenie, a preto aj $1. \vec{\alpha} = \vec{\alpha} $

F je teda vektorový priestor nad F.

[jaroslav.gurican]

Dal som vám tam jednu poznámku, treba tam ešte niečo doriešiť.

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod