Riešenie úlohy 2.4: Ortonormálna báza - opr.

[pisarcikova.alena]

Úloha 2.4. Nájdite ortonormálnu bázu priestoru S=[(1,−1,−2,0),(1,0,1,1),(1,1,2,1)]. (Pracujeme v R4 so štandardným skalárnym súčinom.)

Zjednodušenie matice:

$\begin{pmatrix}
1 & -1&-2 &0 \\1 & 0 & 1&1 \\ 1 &1 & 2 &1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 &1 \\0 & 1 &3 &1 \\ 0 &-1 & -1 &0\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 &1 \\ 0 & 1 & 3 &1 \\ 0 & 0& 2 &1 \end{pmatrix}$

Použijeme Gram-Schmidtov proces:

$\vec{\beta _{1}}=\vec{\alpha _{1}}=\left ( 1, 0, 1, 1 \right )$
$\vec{\beta _{2}}=\vec{\alpha _{2}}$+c$\vec{\beta _{1}}=\left ( 0, 1, 3, 1 \right )+c\left ( 1,0,1,1 \right )=\left ( c,1,3+c,1+c \right )$

$$c=-\frac{\left \langle \vec{\alpha _{2}},\vec{\beta _{1}} \right \rangle}{\left \langle \vec{\beta _{1}},\vec{\beta _{1}} \right \rangle}=-\frac{4}{3}$$
$\vec{\beta _{2}}=\left ( -\frac{4}{3},1,\frac{5}{3},-\frac{1}{3} \right )$


$\vec{\beta _{3}}=\vec{\alpha _{3}}\, +\, c_{1}\vec{\beta _{1}}\, +\, c_{2}\vec{\beta _{2}}=\left ( 0, 0, 2, 1 \right )\, +\, c_{1}\left ( 1, 0, 1, 1 \right )\, +\, c_{2}\left ( -\frac{4}{3},1,\frac{5}{3},-\frac{1}{3} \right )$

$$c_{1}=-\frac{\left \langle \vec{\alpha _{3}},\vec{\beta _{1}} \right \rangle}{\left \langle \vec{\beta _{1}},\vec{\beta _{1}} \right \rangle}=-\frac{3}{3}=-1$$
$$c_{2}=-\frac{\left \langle \vec{\alpha _{3}},\vec{\beta _{2}} \right \rangle}{\left \langle \vec{\beta _{2}},\vec{\beta _{2}} \right \rangle}=-\frac{3}{\frac{51}{9}}=-\frac{9}{17}$$

$\vec{\beta _{3}}=\left ( 0,0,2,1 \right )-1\left ( 1,0,1,1 \right )-\frac{9}{17}\left (-\frac{4}{3},1,\frac{5}{3},-\frac{1}{3} \right )=\left ( -\frac{5}{17},-\frac{9}{17},\frac{2}{17},\frac{3}{17} \right )$

Aby sme dostali jednotkové vektory, použijeme normalizáciu:

$\left | \vec{\beta _{1}} \right |=\sqrt{3}$

$\left | \vec{\beta _{2}} \right |=\sqrt{\frac{51}{9}}=\frac{\sqrt{51}}{3}$

$\left | \vec{\beta _{3}} \right |=\sqrt{\frac{119}{289}}=\frac{\sqrt{119}}{17}$

$\vec{\gamma _{1}}=\frac{\vec{\beta _{1}}}{\left | \vec{\beta _{1}} \right |}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left ( 1,0,1,1 \right )$
$\vec{\gamma _{2}}=\frac{\vec{\beta _{2}}}{\left | \vec{\beta _{2}} \right |}=\frac{3}{\sqrt{51}} \left ( -\frac{4}{3},1,\frac{5}{3},-\frac{1}{3} \right ) $
$\vec{\gamma _{3}}=\frac{\vec{\beta _{3}}}{\left | \vec{\beta _{3}} \right |}=\frac{17}{\sqrt{119}} \left ( -\frac{5}{17},-\frac{9}{17},\frac{2}{17},\frac{3}{17} \right ) $
Vektory $\vec{\gamma _{1}}$,$\vec{\gamma _{2}}$ a $\vec{\gamma _{3}}$ už tvoria ortonormálnu bázu priestoru S.

Skúška:
$ \left \langle \beta _{2},\beta _{3} \right \rangle=\left \langle \left ( -\frac{4}{3},1,\frac{5}{3},-\frac{1}{3} \right ) \left ( -\frac{5}{17},-\frac{9}{17},\frac{2}{17},\frac{3}{17} \right)\right \rangle=\frac{20}{51}-\frac{9}{17}+\frac{10}{51}-\frac{3}{17}=0$
$\left \langle \beta _{1},\beta _{3} \right \rangle=\left \langle \left ( 1,0,1,1 \right ) \left ( -\frac{5}{17},-\frac{9}{17},\frac{2}{17},\frac{3}{17} \right)\right \rangle=-\frac{5}{17}+\frac{2}{17}+\frac{3}{17}=0$
z toho vyplýva, že vektor $\vec{\beta _{3}}$ je kolmý na $\vec{\beta _{1}}$ a $\vec{\beta _{2}}$

[Martin Sleziak]

Prvé dva riadky matice sú na seba kolmé,teda stačí upraviť len tretí riadok.

Toto nie je pravda - ale ani ste to nepoužívali, takže to v podstate nevadí.

Zjednodušenie matice:

$\begin{pmatrix}
1 & -1&-2 &0 \\1 & 0 & 1&1 \\ 1 &1 & 2 &1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 &1 \\0 & 1 &3 &1 \\ 0 &-1 & -1 &0\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 &1 \\ 0 & 1 & 3 &1 \\ 0 & 0& 2 &1 \end{pmatrix}$

Možno by sa to oplatilo doupravovať na RTM, alebo nejaký tvar, ktorý môžeme použiť na kontrolu, či nejaké vektory patria do daného podpriestoru. (Toto sa oplatí hlavne ak chceme robiť nejakú skúšku.)
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 &1 \\
0 & 1 & 3 &1 \\
0 & 0& 2 &1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 &-1 &0 \\
0 & 1 & 1 &0 \\
0 & 0& 2 &1
\end{pmatrix}$
(Zhodou okolností to po tejto úprave vyšlo naozaj tak, že prvé dva riadky sú kolmé, takže by mi to zjednodušilo výpočty.)
Dostal som maticu, kde prvý, druhý a štvrtý stĺpec obsahuje jedinú jednotku, takže viem ľahko skontrolovať, či nejaký vektor patrí do tohoto podpriestoru.
Napríklad keby som chcel skontrolovať, či tam patrí vektor $(5,-9,3,3)$, tak tento vektor by som musel dostať ako $5\cdot(1,0,-1,0)-9\cdot(0,1,1,0)+3\cdot(0,0,2,1)$. Na tretej súradnici mám $5\cdot(-1)-9\cdot1+3\cdot2=-8\ne 3$, teda tento vektor nepatrí do zadaného podpriestoru. Z toho je jasné, že v riešení je niekde chyba.

Takisto by sme prišli na to, že niekde musí byť chyba, ak by sme skontrolovali, či výsledné vektory sú naozaj na seba kolmé. Konkrétne máme:
$\langle 17\vec\beta_3,\vec\beta_1\rangle=\langle (5,-9,3,3),(1,0,1,1)\rangle=5+3+3=11\ne0$.
Čiže niekde je chyba, treba ju nájsť a opraviť riešenie. (A súčasne je to príklad toho, že sa oplatí robiť skúšku - môžeme prísť na to, že je v našom riešení problém.)

[pisarcikova.alena]

(Zhodou okolností to po tejto úprave vyšlo naozaj tak, že prvé dva riadky sú kolmé, takže by mi to zjednodušilo výpočty.)

Prečo sú tie dva riadky kolmé?
Ich skalárny súčin je -1 a nie 0.

[Martin Sleziak]

(Zhodou okolností to po tejto úprave vyšlo naozaj tak, že prvé dva riadky sú kolmé, takže by mi to zjednodušilo výpočty.)

Prečo sú tie dva riadky kolmé?
Ich skalárny súčin je -1 a nie 0.

Toto som prehliadol - moja chyba.
Stále si však myslím, že by mi tie výpočty vyšli o kúsok jednoduchšie, keďže tam mám viac núl a kratšie vektory.

[Martin Sleziak]

Po oprave je to už ok, značím si 1 bod.