Substitúcia a PIEKoľko existuje celočíselných riešení rovnice
$$x_1+x_2+x_3=28$$
takých, že $3\le x_1\le9$, $0\le x_2\le8$, $7\le x_3\le17$.
Ako prvú vec sa oplatí urobiť to, že si zavedieme substitúcie také, aby dolné ohraničenie bolo nula, t.j.
\begin{align*}
y_1&=x_1-3\\
y_2&=x_2\\
y_3&=x_3-7
\end{align*}
Po tejto substitúcii mám $$y_1+y_2+y_3=18$$ s podmienkami $0\le y_1\le6$, $0\le y_2\le8$, $0\le y_3\le10$.
Cez PIE dostaneme pre počet riešení: $\binom{20}2-\binom{13}2-\binom{11}2-\binom92+\binom42+\binom22=190-78-55-36+6+1=28$.
Ešte jedna substitúcia.
Alebo môžem urobiť druhú substitúciu
\begin{align*}
z_1&=6-y_1\\
z_2&=8-y_2\\
z_3&=10-y_3
\end{align*}
a dostanem potom $$z_1+z_2+z_3=6,$$ čo mi dá $\binom82=28$ riešení. (Mám teraz hraničenia $0\le z_1\le6$, $0\le z_2\le8$, $0\le z_3\le10$. Vidím, že horné ohraničenia spĺňa každé riešenie rovnice $z_1+z_2+z_3=6$ v nezáporných celých číslach, čiže horné ohraničenia si teraz nemusím všímať.)
Nejaká úloha tohto typu je (detailnejšie) vyriešená aj tu: viewtopic.php?t=1015