Exercise 20.2 - charaktery $A_6$ zúžením z $S_6$

[Martin Sleziak]

Exercise 20.2. Use the restrictions of the irreducible characters of $S_6$, given in Example 19.17, to find the character table of $A_6$. (The seven conjugacy classes of $A_6$ can be found by consulting the solutions to Exercises 12.3 and 12.4.)

$$
\begin{array}{c|ccccccccccc}
& (1) & (2) & (3) & (2,2) & (4) & (3,2) & (5) & (2,2,2) & (3,3) & (4,2) & (6) \\
|C_G(g_i)| & 720 & 48 & 18 & 16 & 8 & 6 & 5 & 48 & 18 & 8 & 6 \\\hline
\chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2 & 1 &-1 & 1 & 1 &-1 &-1 & 1 &-1 & 1 & 1 &-1 \\
\chi_3 & 5 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 &-1 &-1 &-1 &-1 \\
\chi_4 & 5 &-3 & 2 & 1 &-1 & 0 & 0 & 1 &-1 &-1 & 1 \\
\chi_5 &10 & 2 & 1 &-2 & 0 &-1 & 0 &-2 & 1 & 0 & 1 \\
\chi_6 &10 &-2 & 1 &-2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 &-1 \\
\chi_7 & 9 & 3 & 0 & 1 &-1 & 0 &-1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
\chi_8 & 9 &-3 & 0 & 1 & 1 & 0 &-1 &-3 & 0 & 1 & 0 \\
\chi_9 & 5 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & -3 & 2 & -1 & 0 \\
\chi_{10}& 5 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 3 & 2 & -1 & 0 \\
\chi_{11}& 16 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0
\end{array}
$$

Triedy konjugácie v $A_6$ sú reprezentované prvkami $1$, $(12)(34)$, $(123)$, $(1234)(56)$, $(123)(456)$, $(12345)$ a $(12)(12345)$; s výnimkou posledných dvoch sú totožné s triedami konjugácie grupy $S_6$. (Posledné dve vznikli tým, že trieda $(12345)$ sa rozpadla na dve časti.)

Teda z predošlej tabuľky nás vlastne budú zaujímať stĺpce (1), (3), (2,2), (5), (3,3), (4,2)
$$
\begin{array}{c|cccccccc}
& 1 & (3) & (2,2) & (5) & (5') & (3,3) & (4,2) \\
|C_H(g_i)| & 360 & 9 & 8 & 5 & 5 & 9 & 4 \\\hline
\chi_1\downarrow H & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2\downarrow H & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_3\downarrow H & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 &-1 &-1 \\
\chi_4\downarrow H & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 &-1 &-1 \\
\chi_5\downarrow H &10 & 1 &-2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\chi_6\downarrow H &10 & 1 &-2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\chi_7\downarrow H & 9 & 0 & 1 &-1 &-1 & 0 & 1 \\
\chi_8\downarrow H & 9 & 0 & 1 &-1 &-1 & 0 & 1 \\
\chi_9\downarrow H & 5 & -1 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\
\chi_{10}\downarrow H & 5 & -1 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\
\chi_{11}\downarrow H & 16 & -2 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0
\end{array}
$$

Vidíme, že niektoré charaktery nám vyšli dvakrát, tak tie vynecháme. Súčasne všetky charaktery okrem $\chi_{11}$majú aspoň jednu nenulovú hodnotu aj mimo $H$, takže sú ireducibilné.
$$
\begin{array}{c|cccccccc}
& 1 & (3) & (2,2) & (5) & (5') & (3,3) & (4,2) \\
|C_H(g_i)| & 360 & 9 & 8 & 5 & 5 & 9 & 4 \\\hline
\psi_1=\chi_1\downarrow H & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\psi_2=\chi_3\downarrow H & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 &-1 &-1 \\
\psi_3=\chi_5\downarrow H &10 & 1 &-2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\psi_4=\chi_7\downarrow H & 9 & 0 & 1 &-1 &-1 & 0 & 1 \\
\psi_5=\chi_9\downarrow H & 5 & -1 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\
\chi_{11}\downarrow H & 16 & -2 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0
\end{array}
$$

Vieme, že $\chi_{11}\downarrow H$ je súčet dvoch charakterov stupňa 8.
$$
\begin{array}{c|cccccccc}
& 1 & (3) & (2,2) & (5) & (5') & (3,3) & (4,2) \\
|C_H(g_i)| & 360 & 9 & 8 & 5 & 5 & 9 & 4 \\\hline
\psi_1=\chi_1\downarrow H & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\psi_2=\chi_3\downarrow H & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 &-1 &-1 \\
\psi_3=\chi_5\downarrow H &10 & 1 &-2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\psi_4=\chi_7\downarrow H & 9 & 0 & 1 &-1 &-1 & 0 & 1 \\
\psi_5=\chi_9\downarrow H & 5 & -1 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\
\psi_7 & 8 & & & & & & \\
\psi_8 & 8 & & & & & & \\\hline
\chi_{11}\downarrow H & 16 & -2 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0
\end{array}
$$

Dva stĺpce môžeme doplniť nulami, pretože súčet druhých mocnín je už rovný $|C_H(g_i)|$.
$$
\begin{array}{c|cccccccc}
& 1 & (3) & (2,2) & (5) & (5') & (3,3) & (4,2) \\
|C_H(g_i)| & 360 & 9 & 8 & 5 & 5 & 9 & 4 \\\hline
\psi_1=\chi_1\downarrow H & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\psi_2=\chi_3\downarrow H & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 &-1 &-1 \\
\psi_3=\chi_5\downarrow H &10 & 1 &-2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\psi_4=\chi_7\downarrow H & 9 & 0 & 1 &-1 &-1 & 0 & 1 \\
\psi_5=\chi_9\downarrow H & 5 & -1 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\
\psi_7 & 8 & & 0 & & & & 0 \\
\psi_8 & 8 & & 0 & & & & 0 \\\hline
\chi_{11}\downarrow H & 16 & -2 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0
\end{array}
$$

V ostatných stĺpcoch hľadáme reálne čísla, pre ktoré poznáme ich súčet a aj súčet ich druhých mocnín. (Reálne sú vďaka tomu, že inverzy ležia v tej istej triede konjugácie.) V stĺpcoch (3) a (3,3) sa dajú uhádnuť
$$
\begin{array}{c|cccccccc}
& 1 & (3) & (2,2) & (5) & (5') & (3,3) & (4,2) \\
|C_H(g_i)| & 360 & 9 & 8 & 5 & 5 & 9 & 4 \\\hline
\psi_1=\chi_1\downarrow H & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\psi_2=\chi_3\downarrow H & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 &-1 &-1 \\
\psi_3=\chi_5\downarrow H &10 & 1 &-2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\psi_4=\chi_7\downarrow H & 9 & 0 & 1 &-1 &-1 & 0 & 1 \\
\psi_5=\chi_9\downarrow H & 5 & -1 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\
\psi_7 & 8 &-1 & 0 & & &-1 & 0 \\
\psi_8 & 8 &-1 & 0 & & &-1 & 0 \\\hline
\chi_{11}\downarrow H & 16 & -2 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0
\end{array}
$$

Vo zvyšných dvoch stĺpcoch hľadáme $x$, $y$ také, že $x+y=1$ a $x^2+y^2=3$.
Teda $x^2+(1-x)^2-3=2x^2-2x-2=2(x^2-x-1)=0$ nám dá riešenia $x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt5}2$.
Musíme ich navyše doplniť tak, aby zostávajúce dva riadky neboli rovnaké.
$$
\begin{array}{c|cccccccc}
& 1 & (3) & (2,2) & (5) & (5') & (3,3) & (4,2) \\
|C_H(g_i)| & 360 & 9 & 8 & 5 & 5 & 9 & 4 \\\hline
\psi_1=\chi_1\downarrow H & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\psi_2=\chi_3\downarrow H & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 &-1 &-1 \\
\psi_3=\chi_5\downarrow H &10 & 1 &-2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\psi_4=\chi_7\downarrow H & 9 & 0 & 1 &-1 &-1 & 0 & 1 \\
\psi_5=\chi_9\downarrow H & 5 & -1 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\
\psi_7 & 8 &-1 & 0 & x_1 & x_2 &-1 & 0 \\
\psi_8 & 8 &-1 & 0 & x_2 & x_1 &-1 & 0 \\
\end{array}
$$