Úloha 6.3. Doplnenie vektorov na bázu.

[JakubNovak72]

Úloha 6.3. Ak sa to dá, doplňte vektory $(1,3,1,0)$, $(2,1,3,1)$ na bázu priestoru $\mathbb Z_5^4$. (Poznámka: Neskôr sa naučíme úlohy takéhoto typu riešiť jednoduchšie, ale táto úloha je riešiteľná už aj pomocou tých vecí, ktoré sme sa učili doteraz.)

Zacnem pocitat maticu $(1,3,1,0)$, $(2,1,3,1)$. Doplnim vektory $(0,0,0,0)$, $(0,0,0,0)$, kedze ratame v $\mathbb Z_5^4$.

$\ \begin{pmatrix} 1& 2& 0& 0& \\ 3& 1& 0& 0& \\ 1& 3& 0& 0& \\ 0& 1& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0& \\ 3& 0& 0& 0& \\ 1& 0& 0& 0& \\ 0& 1& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0& \\ 0& 1& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& \end{pmatrix}$

Z tohto vidime, ze vektory, ktore potrebujeme doplnit aby sme dostali bazu priestoru $\mathbb Z_5^4$ su: $(0,0,1,0)$ a $(0,0,0,1)$.

[Martin Sleziak]

Z tohto vidime, ze vektory, ktore potrebujeme doplnit aby sme dostali bazu priestoru $\mathbb Z_5^4$ su: $(0,0,1,0)$ a $(0,0,0,1)$.

Ako to z tohoto vidíme?
Čo sa tam vlastne počíta?
Nerozumiem tomu, prečo sa tam dopĺňali ďalšie dva stĺpce.

[Martin Sleziak]

Úloha 6.3. Ak sa to dá, doplňte vektory $(1,3,1,0)$, $(2,1,3,1)$ na bázu priestoru $\mathbb Z_5^4$. (Poznámka: Neskôr sa naučíme úlohy takéhoto typu riešiť jednoduchšie, ale táto úloha je riešiteľná už aj pomocou tých vecí, ktoré sme sa učili doteraz.)

Zacnem pocitat maticu $(1,3,1,0)$, $(2,1,3,1)$. Doplnim vektory $(0,0,0,0)$, $(0,0,0,0)$, kedze ratame v $\mathbb Z_5^4$.

$\ \begin{pmatrix} 1& 2& 0& 0& \\ 3& 1& 0& 0& \\ 1& 3& 0& 0& \\ 0& 1& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0& \\ 3& 0& 0& 0& \\ 1& 0& 0& 0& \\ 0& 1& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0& \\ 0& 1& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& \end{pmatrix}$

Z tohto vidime, ze vektory, ktore potrebujeme doplnit aby sme dostali bazu priestoru $\mathbb Z_5^4$ su: $(0,0,1,0)$ a $(0,0,0,1)$.

Ešte sa oplatí všimnúť, že keby sme presne takýto istý postup použili na vektory $(1,0,0,0)$, $(0,0,1,0)$, tak dostaneme
$\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)$
Platí aj tu záver, že ich môžeme doplniť na bázu vektormi $(0,0,1,0)$, $(0,0,0,1)$?

(Alebo keby ste chceli príklad, ktorý je menej "okatý", tak môžete skúsiť postup, ktorý ste navrhli, aplikovať na vektory $(1,2,1,2)$, $(1,2,2,2)$.)

[JakubNovak72]

Pouzil som zly postup - ako keby som pocital sustavu rovnic.

-snad- spravny vysledok:

$\ \begin{pmatrix} 1& 3& 1& 0& \\ 2& 1& 3& 1& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 0& 2& 2& \\ 2& 1& 3& 1& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 1& \\ 2& 1& 0& 3& \end{pmatrix}$

Teraz si doplnim prvy z 2 vektorov (0,0,0,1) a pocitam maticu dalej

$\ \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 1& \\ 2& 1& 0& 3& \\ 0& 0& 0& 1& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0& \\ 2& 1& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 1& \end{pmatrix}$

Opat aby som mohol dalej pocitat potrebujem 4ty vektor. Zvolim si (0,1,0,0).

$\ \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0& \\ 2& 1& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 1& \\ 0& 1& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0& \\ 2& 0& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 1& \\ 0& 1& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0& \\ 1& 0& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 1& \\ 0& 1& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0& \\ 0& 1& 0& 0& \\ 0& 0& 1& 0& \\ 0& 0& 0& 1& \end{pmatrix}$

Dalsia moznost je doplnit miesto (0,1,0,0) vektor (1,0,0,0).

$\ \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0& \\ 2& 1& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 1& \\ 1& 0& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0& \\ 0& 1& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 1& \\ 1& 0& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0& \\ 0& 1& 0& 0& \\ 0& 0& 1& 0& \\ 0& 0& 0& 1& \end{pmatrix}$

Vysli mi RTM -> vektory su LN, bazou priestoru -> tvoria cely priestor.

[Martin Sleziak]

Vysli mi RTM -> vektory su LN, bazou priestoru -> tvoria cely priestor.

Ako sa zanedlho naučíme, každí matica sa dá upraviť na redukovanú trojuholníkovú maticu (predpokladám, že to znamená skratka RTM). Takže z toho, že sme dostali RTM vlastne nevieme povedať nič. Skôr je dôležité to, že nám vyšla jednotková matica.

Vlastne ste ukázali, že vektory $(1,3,1,0)$, $(2,1,3,1)$, $(0,0,0,1)$, $(0,1,0,0)$ generujú rovnaký podpriestor ako vektory zo štandardnej bázy. (Ukázali ste, že maticu, ktorá má tieto vektory ako riadky, môžeme upraviť riadkovými operáciami na maticu, ktorej riadky sú vektory zo štandardnej bázy. Riadkové operácie nemenia podpriestor generovaný riadkami matice.)

Teda toto sú 4 vektory, ktoré generujú priestor dimenzie 4; z prednášky vieme, že potom už musia byť lineárne nezávislé a tvoriť bázu.

Značím si 1 bod.