Prednášky ZS 2014/15

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (22.9.)
Veta o delení so zvyškom. Deliteľnosť. Najväčší spoločný deliteľ. (Ako posledné sme stihli dokázať nejaké dôsledky Bézoutovej identity - Euklidovu lemu a Lemu 2.1.10. Nehovorili sme o tom, ako sa dajú vyrátať čísla spĺňajúce Bézoutovu identitu - ak si potrebujete pripomenúť rozšírený Euklidov algoritmus, nejaké odkazy nájdete tu.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška (29.9.)
Najväčší spoločný deliteľ. Dokázali sme si vlastnosti, ktoré sme minule nestihli. Spomenul som jednoduchý ale často používaný výsledok, ktorý nemám v poznámkach k prednáške (časom doplním): Ak $ax+by=1$ pre nejaké celé čísla $x$, $y$, tak $(a,b)=1$.
Chvíľu sme sa rozprávali aj o rozšírenom Euklidovom algoritme. (Opäť ho nespomínam v texte k prednáške. Ak si potrebujete pripomenúť rozšírený Euklidov algoritmus, nejaké odkazy nájdete tu.)
Prvočísla. Zatiaľ sme stihli definíciu, základné vlastnosti a ukázali sme, že prvočísel je nekonečne veľa. (Najbližšie by už mal nasledovať dôkaz základnej vety aritmetiky.)

[Martin Sleziak]

3. prednáška. (6.10.)
Základná veta aritmetiky. Dokázali sme základnú vetu aritmetiky, povedali sme si, čo je kanonický rozklad.
Rozloženie prvočísel. V množine prvočísel sú ľubovoľne dlhé medzery.
Rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje. Povedali sme si tiež niečo o číslach bez kvadratických deliteľov. Dokázali sme, že rad $\sum\limits_{p\in\mathbb P}\frac1p$ diverguje. Nabudúce chceme ukázať ešte dva iné dôkazy toho istého tvrdenia. Pre jeden z nich sme ako prípravu ukázali lemu hovoriacu, že ak by tento rad konvergoval, tak $\pi(n)/n\to0$.
Využívali sme fakt, že rad $\sum\frac1{n^2}$ konverguje. (Čo sa dá ukázať pomerne ľahko.) Ak vás zaujíma dôkaz toho, že presná hodnote tejto sumy je $\pi^2/6$, tak nejaký dôkaz je v texte prednáške (v dodatku) - je to dôkaz pomocou Fourierových radov. V literatúre sa dá nájsť veľa ďalších dôkazov, nejaké odkazy nájdete tu.

[Martin Sleziak]

4. prednáška. (13.10.)
Rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje. Ukázali sme si ďalšie dva dôkazy.
Prvočíselná funkcia a prvočíselná veta. Sformulovali sme prvočíselnú vetu. Ako príklad jej použitia sme ukázali, že množina $\{p/q; p,q\in\mathbb P\}$ je hustá v $(0,\infty)$.

[Martin Sleziak]

5. prednáška. (20.10.)
Prvočíselná funkcia. Dokázali sme Čebyševove nerovnosti. Dokázali sme odhad na n-té prvočíslo: $an\ln n<p_n<bn\ln n$.
Čebyševova funkcia. Odvodili sme asymptotický vzťah prvočíselnej funkcie a Čebyševovej funkcie.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (27.10):
Bertrandov postulát. Dokázali sme Bertrandov postulát.
Prvočísla špeciálneho tvaru a niektoré otvorené problémy. Povedali sme si niečo o prvočíslach v aritmetických postupnostiach, o prvočíselných dvojčatách, o Fermatových prvočíslach.
(Nestihol som povedať nič o Mersennových prvočíslach, môžete si o nich prečítať v texte k prednáške, prípadne niečo spomeniem na začiatku budúcej prednášky.)

[Martin Sleziak]

7. prednáška (3.10):
Stihli sme definíciu a základné vlastnosti kongruencií. (V podstate sme prešli časť 3.1.1 z textu.)
Na konci som trochu kecal o pojme kongruencia v trochu inom, ale veľmi príbuznom, zmysle. Konkrétne o kongruenciách v grupách a okruhoch, ktoré úzko súvisia s normálnymi podgrupami. (Máme vlastne 3 rôzne pohľady, ako sa dá pozerať na normálne podgrupy. Okrem definície sa na ne dá pozerať ako na jadrá homomorfizmov a tiež máme jedno-jednoznačnú korešpondenciu medzi grupami a kongruenciami. Podobne je to s ideálmi v okruhoch a okruhovými kongruenciami.)

[Martin Sleziak]

8. prednáška (10.10):
Kongruencie. Lineárne kongruencie. Čínska veta o zvyškoch.
Aritmetické funkcie. Multiplikatívne a úplne multiplikatívne funkcie - definícia, základné vlastnosti. Ak $f$ je multiplikatívna, tak aj $g(n)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)$ je multiplikatívna.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (24.11.)
Funkcie $d(n)$ a $\sigma(n)$. Vyjadrenie týchto funkcií z kanonického rozkladu. Charakterizácia párnych dokonalých čísel. (Nerobil som časť o nepárnych dokonalých číslach. Takisto ani to, ako sa $d(n)$ a $\sigma(n)$ funkcie správajú pre veľké $n$.
Eulerova funkcia. Zadefinovali sme funkciu $\varphi(n)$ a dokázali, že je multiplikatívna.
Malá Fermatova veta. Ukázali sme si dôkaz malej Fermatovej vety. (Nerobil som "algebraický" dôkaz, ktorý sme však videli všeobecnejšie pri Eulerovej vete. V poznámkach je ešte jeden kombinatorický dôkaz, ktorý som nerobil.)
Eulerova veta. Urobili sme dva dôkazy Eulerovej vety. (Vynechal som dôkaz opierajúci sa o malú Fermatovu vetu a Čínsku vetu o zvyškoch.)

V podstate sa vám môže oplatiť pozrieť na dôkazy Malej Fermatovej vety a Eulerovej vety, ktoré sme preskočili. Jednak sú celkom pekné. Navyše budete mať výhodu, že ak budem od vás na skúške chcieť dôkaz tejto vety, tak budete poznať viacero možností, ako ich dokazovať.