Príklad na Jordanov tvar
Posted: Thu Apr 23, 2015 11:26 am
Nejaké úlohy typu "nájdite Jordanov tvar danej matice" nájdete sme robili na cvikách - takže ste videli ako sa takéto úlohy riešia. Aj tak sa možno oplatí skúsiť sem napísať riešenie jednej takejto úlohy. (Potom skúsime ešte navyše nájsť maticu takú, že $\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}PA\inv P=J$.)
Nejaké riešené úlohy nájdete aj tu: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... jordan.pdf (A samozrejme kdekade inde na internete a v rôznej literatúre; to čo píšem sem má ale tú výhodu, že používam konvencie, na ktoré ste zvyknutí z prednášky a cvika.)
Samozrejme, ak budú nejaké veci nejasné, budete mať nejaké otázky, poznámky, návrhy na jednoduchšie riešenia, tak kľudne píšte sem. (A ak narazíte na problém pri inej úlohe, tak môžete otvoriť topic na fóre - je nenulová šanca, že sa dočkáte nejakej odpovede.)
Skúsme takúto maticu:
$A=\begin{pmatrix}
1&-3& 0& 3\\
-2&-6& 0&13\\
0&-3& 1& 3\\
-1&-4& 0& 8
\end{pmatrix}$
Najprv skúsime vyriešiť úlohu nájsť Jordanov tvar. Na to poznáme prinajmenšom dva spôsoby, ktoré však navzájom pomerne úzko súvisia.
Potom sa skúsime pozrieť aj na to, či by sme vedeli nájsť maticu $P$ takú, že $PA\inv P=J$.
(Aj keď toto je do istej miery navyše. Zamyslieť sa však nad tým azda nezaškodí.)
Každopádne ako prvé potrebujeme nájsť vlastné čísla. Spočítame charakteristický polynóm a zistíme, že $\chi_A(x)=(x-1)^4$.
Teda jedná vlastná hodnota je 1.
O Jordanovom tvare vieme teda povedať, že bude pozostávať z Jordanových blokov k číslu 1, ale zatiaľ nevieme povedať, koľko ich bude a aké budú veľké.
Mohli by sme mať napríklad 4 bloky veľkosti 1, t.j. $4=1+1+1+1$, alebo dva bloky veľkosti 2, t.j. $4=2+2$, alebo ešte ďalšie možnosti $4=2+1+1$, $4=3+1$, $4=4$.
T.j. zatiaľ vieme, že matica $A$ je podobná s niektorou z matíc
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
Ideme sa pokúsiť zistiť, s ktorou.
Nejaké riešené úlohy nájdete aj tu: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... jordan.pdf (A samozrejme kdekade inde na internete a v rôznej literatúre; to čo píšem sem má ale tú výhodu, že používam konvencie, na ktoré ste zvyknutí z prednášky a cvika.)
Samozrejme, ak budú nejaké veci nejasné, budete mať nejaké otázky, poznámky, návrhy na jednoduchšie riešenia, tak kľudne píšte sem. (A ak narazíte na problém pri inej úlohe, tak môžete otvoriť topic na fóre - je nenulová šanca, že sa dočkáte nejakej odpovede.)
Skúsme takúto maticu:
$A=\begin{pmatrix}
1&-3& 0& 3\\
-2&-6& 0&13\\
0&-3& 1& 3\\
-1&-4& 0& 8
\end{pmatrix}$
Najprv skúsime vyriešiť úlohu nájsť Jordanov tvar. Na to poznáme prinajmenšom dva spôsoby, ktoré však navzájom pomerne úzko súvisia.
Potom sa skúsime pozrieť aj na to, či by sme vedeli nájsť maticu $P$ takú, že $PA\inv P=J$.
(Aj keď toto je do istej miery navyše. Zamyslieť sa však nad tým azda nezaškodí.)
Každopádne ako prvé potrebujeme nájsť vlastné čísla. Spočítame charakteristický polynóm a zistíme, že $\chi_A(x)=(x-1)^4$.
Spoiler:
O Jordanovom tvare vieme teda povedať, že bude pozostávať z Jordanových blokov k číslu 1, ale zatiaľ nevieme povedať, koľko ich bude a aké budú veľké.
Mohli by sme mať napríklad 4 bloky veľkosti 1, t.j. $4=1+1+1+1$, alebo dva bloky veľkosti 2, t.j. $4=2+2$, alebo ešte ďalšie možnosti $4=2+1+1$, $4=3+1$, $4=4$.
T.j. zatiaľ vieme, že matica $A$ je podobná s niektorou z matíc
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
Ideme sa pokúsiť zistiť, s ktorou.