Riešenie
Prvé tri vlastnosti z definície skalárneho súčinu (ako sme si ukázali aj na prednáške) platia pre každú
symetrickú maticu. Tým sa tu teda nebudem venovať.
Asi najjednoduchší spôsob, ako overiť zostávajúcu vlastnosť (kladnú definitnosť), je použiť Sylvestrovo kritérium. Zistíme, že $D_1>0$, $D_2>0$, $D_3>0$, teda ide o kladne definitnú maticu a zadaný predpis určuje skalárny súčin.
Iná možnosť - ktorú mnohí z vás v riešení použili - bolo pokúsiť sa upraviť výraz $\vec x A \vec x^T$.
Napríklad v skupine A sa dal tento výraz prepísať ako
$3x_1^2+2x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_1+x_2)^2+x_1^2$
(Toto nie je jediná možnosť, ako ho upraviť na súčet troch druhých mocnín.)
Uvedený výraz je očividne nezáporný pre ľubovoľné hodnoty $x_1$, $x_2$, $x_3$, lebo je to súčet druhých mocnín.
Nule sa rovná iba v prípade, že sa výrazy vo všetkých troch zátvorkách rovnajú nule. Teda iba ak $x_1+x_2+x_3=x_1+x_2=x_1=0$, čo nám dáva $x_1=x_2=x_3=0$.
Teda to nastane iba pre nulový vektor.
Overili sme teda kladnú definitnosť.
Bodovanie
Najzaujímavejšia časť je overiť kladnú definitnosť. Ale aj tak som očakával, že aspoň spomeniete, že ostatné vlastnosti platia pre ľubovoľnú
symetrickú maticu.
Keď sa neobjavila v riešenie zmienka o tom, prečo takto definovaný skalárny súčin spĺňa symetriu, tak som strhol 2 body.
Za správnu definíciu, nesprávny zvyšok, som dal 5 bodov.
Komentáre k odovzdaným riešeniam, chyby, ktoré sa objavovali
Viacerí ste tvrdili, že ak všetky čísla v symetrickej matici sú kladné, tak bude automaticky kladne definitná.
To nie je pravda. Skúste sa pozrieť na maticu
$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$
Alebo aby som dal aj príklad matice, ktorá je regulárna, tak
$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$
obsahuje iba kladné hodnoty ale nie je kladne definitná.
Stačí skontrolovať, že jej determinant je záporný.
Alebo nájsť taký nenulový vektor, pre ktorý $\vec x A \vec x^T \le 0$. (Skúste napríklad $\vec x=(-1,0,1)$.)