Úloha 4.1 - Dokážte, že vo vekt.p. V platí c*(alfa-beta)=c*alfa - c*beta

[adrianmatejov]

Úloha 4.1. Dokážte, že vo vektorovom priestore $V$ nad poľom $F$ pre každé $\vec\alpha, \vec\beta\in V$, $c\in F$ platí $c(\vec\alpha-\vec\beta)=c\vec\alpha-c\vec\beta$.

Majme
$\vec\alpha = (a_1, a_2, ... , a_n)$
$\vec\beta = (b_1, b_2, ... , b_n)$

Ak $c\in F$, potom
$c(\vec\alpha - \vec\beta) = c(a_1-b_1, a_2-b_2, ... , a_n-b_n)=(c(a_1-b_1), c(a_2-b_2),..., c(a_n-b_n))$

$c\vec\alpha - c\vec\beta = (c*a_1, c*a_2, ... , c*a_n)-(c*b_1, c*b_2, ..., c*b_n) = ((c*a_1 - c*b_1), (c*a_2 - c*b_2), ... , (c*a_n - c*b_n))$
Tu môžme vyňať $c$ a dostávame
$(c(a_1-b_1), c(a_2-b_2), ... , c(a_n-b_n))$

[Martin Sleziak]

Toto by bol správny dôkaz, keby zadanie bolo ukázať, že takáto vlastnosť platí vo vektorovom priestore $V=F^n$.

Lenže zadanie našej úlohy je iné - máme to dokázať pre ľubovoľný vektorový priestor. Čiže nato bude treba ísť nejako inak. (Treba vychádzať z definície a základných vlastností vektorových priestorov.)

Ešte doplním drobnú poznámku: V princípe by sa dalo takto ukázať aspoň to, že to platí pre konečnorozmerné priestory - tento pojem sme nemali, ale neskôr sa naučíme, že každý konečnorozmerný vektorový priestor vyzerá "v podstate ako $F^n$" pre nejaké pole $F$ a nejaké prirodzené číslo $n$. Takýto argument by bol takmer v poriadku - akurát by sme si potom ešte museli rozmyslieť, či sme v dôkaze, že každý konečnorozmerný vektorový priestor je izomorfný s $F^n$ náhodou niekde nepoužili túto vlastnosť - v takom prípade by to bol dôkaz do kruhu. A navyše by sme to takto stále ukázali iba pre konečnorozmerné vektorové priestory - nie pre všetky vektorové priestory.

[adrianmatejov]

Tak takto:

Keďže $-\vec\beta$ je opačný vektor k $\vec\beta$ tak
$c(\vec\alpha -\vec\beta) = c(\vec\alpha +(-\vec\beta))$

Po použití pravidla $ii)$ z definície 4.1.1. o Vektorovom priestore, dostávame
$c(\vec\alpha +(-\vec\beta))=c\vec\alpha + c(-\vec\beta)$

Následne $-\vec\beta$ vieme zapísať ako $(-1)\vec\beta$

Čiže máme $c\vec\alpha + c((-1)\vec\beta)$
Po roznásobení c-čkom dostaneme $c\vec\alpha + ((-c)\vec\beta)$

Čo podľa vety 4.1.6 d) môžme prepísať ako
$c\vec\alpha -c\vec\beta$

[Martin Sleziak]

ok, značím si 1 bod

Následne $-\vec\beta$ vieme zapísať ako $(-1)\vec\beta$

V podstate aj toto by sme mali zdôvodniť - alebo sa opäť odvolať na tú istú vetu.

Je len pripomeiem, že dôkaz toho, že $(-c)\vec\beta=-c\vec\beta$ je veľmi jednoduchý. V podstate sa pýtame iba na zdôvodnenie faktu, že $(-c)\vec\beta$ je opačný vektor k $c\vec\beta$, t.j. že tieto dva prvky sú navzájom inverzné v komutatívnej grupe $(V,+)$.
To ľahko dostaneme z
$$c\vec\beta+(-c)\vec\beta=(c+(-c))\vec\beta=0\vec\beta=0.$$
(Prvá rovnosť je priamo z definície vektorového priestoru. V druhej rovnosti sme použili $c+(-c)=0$, čo máme s vlastností poľa, presnejšie povedané, z toho ako je v poli definované $-c$. Posledná rovnosť je prvá časť tej istej vety, ktorú ste použili vo svojom riešení a tiež má pomerne jednoduchý dôkaz.)