Úloha 5.2. $1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2^2}$ sú lineárne nezávislé

[Filip Sulik]

Úloha 5.2. Ukážte, že $1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2^2}$ sú lineárne nezávislé vo vektorovom priestore $\mathbb{R}$ nad $\mathbb{Q}$.

Okej cize... $\frac{m}{n} + \frac{p}{q}\sqrt[3]{2} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2^2} = 0 \land m, n, p, q, x, y \in \mathbb{Z} \land (m \neq 0 \lor p \neq 0 \lor x \neq 0) \land (n, q, y \neq 0)$
... budeme sa snazit dokazat ze toto je spor

1. $\implies \frac{m}{n} + \frac{p}{q}\sqrt[3]{2} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2} = 0$
2. $\implies \frac{m}{n} + \sqrt[3]{2} (\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}) = 0$
3. $\implies \sqrt[3]{2} (\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}) = \frac{-m}{n} \implies \sqrt[3]{2} (\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}) \in \mathbb{Q}$

toto by platilo v dvoch pripadoch:
1) $(\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}) = 0 \implies \frac{p}{q} = \frac{-x\sqrt[3]{2}}{y} \implies \frac{py}{-qx} = \sqrt[3]{2} \implies \sqrt[3]{2} \in \mathbb{Q}$ SPOR
2) $\sqrt[3]{2}(\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}) \in \mathbb{Q - 0} \implies \sqrt[3]{2}(\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}) = \frac{k}{l}, (k,l \in \mathbb{Z-0}) \implies (\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2})^3 = \frac{k^3}{2l^3} \implies \frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2} \in \mathbb{Q}$ SPOR

[Martin Sleziak]

Poznámka k označeniu: Namiesto $\frac{m}{n} + \frac{p}{q}\sqrt[3]{2} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2^2} = 0$ by som asi napísal, že $a+b\sqrt[3]2+c\sqrt[3]{2^2}=0$, kde $a,b,c\in\mathbb Q$.
Zdá sa mi, že keď tam je menej písmeniek, tak to bude prehľadnejšie. (A bude sa s tým ľahšie robiť.)
Alebo ešte na zjednodušenie označenia si môžeme nejako označiť aj tú odmocninu, napríklad $\alpha=\sqrt[3]2$ a potom to celé zapísať ako:
$a+b\alpha+c\alpha^2=0$.
(Samozrejme, musíme si pamätať, čo je $\alpha$. Špeciálne asi v dôkaze občas využijeme, že $\alpha$ je iracionálne číslo alebo aj to, že $\alpha^3=2$.)
Možno medzi zápismi $a+b\alpha+c\alpha^2=0$ a $a+b\sqrt[3]2+c\sqrt[3]{2^2}=0$ nie je až taký veľký rozdiel čo sa týka prehľadnosti zápisu. Ale prinajmenšom je to jednoduchšie na zapísanie na fóre (kratší zápis v TeXu.)

Na jednom mieste používate zápis $\mathbb{Q - 0}$. Mysleli ste racionálne čísla okrem nuly? Označenie pre túto množinu je $\mathbb Q\setminus\{0\}$ alebo $\mathbb Q-\{0\}$.

Poznámka k riešeniu: Tým, čo tu je napísané, ste ma zatiaľ nepresvedčíli, že dokazované tvrdenie platí.

Hlavný problém vidím tu:

$\sqrt[3]{2} (\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}) \in \mathbb{Q}$

toto by platilo v dvoch pripadoch:
1) $(\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}) = 0$
2) $\sqrt[3]{2}(\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}) \in \mathbb{Q - 0}$

Odkiaľ vieme, že toto sú jediné dva prípady, kedy táto rovnosť môže nastať?

Ak by ste toto vedeli zdôvodniť, zvyšok by bol takmer ok. Len si treba dať pozor (na viacerých miestach), či nedelíte nulou. Napríklad ste na jednom mieste dostali:
$\frac{py}{-qx} = \sqrt[3]{2}$
Tento výraz očividne nemá zmysel, ak $x=0$. Čiže v tejto vetve by sa bolo treba pozrieť zvlášť na prípad $x=0$.
(Všimnite si, že uvedená rovnosť platí ak $m=p=x=0$. Čiže ak si myslíte, že ste dokázali, že neplatí nikdy, tak ste zrejme nejaké príklady vynechali.)

Skúste teda ešte porozmýšľať, či riešenie neviete opraviť alebo urobiť celkom nové riešenie.
(Ak to nepôjde, tak sem treba explicitne napísať, že tento príklad nechávate tak. Aby vaši spolužiaci vedeli, že ho môžu skúsiť riešiť a získať body - keďže ste ho začali riešiť vy, tak momentálne naň máte "prednostné právo".)

[Filip Sulik]

(Všimnite si, že uvedená rovnosť platí ak m=p=x=0. Čiže ak si myslíte, že ste dokázali, že neplatí nikdy, tak ste zrejme nejaké príklady vynechali.)

Vsak to som mal v predpoklade ze nemoze nastat

[Martin Sleziak]

(Všimnite si, že uvedená rovnosť platí ak m=p=x=0. Čiže ak si myslíte, že ste dokázali, že neplatí nikdy, tak ste zrejme nejaké príklady vynechali.)

Vsak to som mal v predpoklade ze nemoze nastat

Ok, tak toto som prehliadol.
A tým pádom ste ma upozornili na ďalšie miesto, ktoré je vo vašom riešení problematické.

Tak ako ste to napísali to vyzerá, ako keby ste linárnu (ne)závislosť chápali takto:
Vektory $\vec x$, $\vec y$, $\vec z$ (vo vektorovom priestore $V$ nad poľom $F$) sú lineárne závislé, ak existujú koeficienty $a,b,c\in F$ také, že $a\vec x+b\vec y+c\vec z=\vec 0$, pričom všetky z nich sú nenulové.
V skutočnosti správna definícia závislosti je
Vektory $\vec x$, $\vec y$, $\vec z$ , ak existujú koeficienty $a,b,c\in F$ také, že $a\vec x+b\vec y+c\vec z=\vec 0$, kde aspoň jeden z koeficientov je nenulový.

[Filip Sulik]

Ved ta moja podmienka znamena ze aspon jeden je nenulovy....ak je aspon jeden nenulovy tak je disjunkcia pravdiva...keby som to chapal tak ako si myslete ze to chapem napisal by som: $a \neq 0 \land b \neq 0 \land c \neq 0$

[Martin Sleziak]

Ved ta moja podmienka znamena ze aspon jeden je nenulovy....ak je aspon jeden nenulovy tak je disjunkcia pravdiva...keby som to chapal tak ako si myslete ze to chapem napisal by som: $a \neq 0 \land b \neq 0 \land c \neq 0$

Ok, beriem. (Trest za to, že nečítam poriadne.)

Stále platia tie veci, čo som písal pôvodne:
* Hlavne je tam to jedno kľúčové miesto, kde nemáte žiadne zdôvodnenie.
* Skontrolovať, či ste nedelili nulou resp. ošetriť tie prípady zvlášť. (Už sme si teda ujasnili, čo sú predpoklady. Teda predpokladáte, že aspoň jedno z čísel m,p,x je nenulové. Stále sa treba pozerať na prípad, že $m=0$; mohlo by sa stať, že nenulové je niektoré z ostatných dvoch.)

Čiže plán dôkazu - predpokladajme, že dostanem nulu kombináciou, kde mám aspoň jeden koeficient nenulový - je správna.

Problémy mám s tým, ako je tento plán zrealizovaný.

BTW nemáte v tom čase, keď tu diskutujeme na fóre o algebre, celkom inú vyučovaciu hodinu: https://candle.fmph.uniba.sk/kruzky/1INF1 ?
(Aj keď dôležitejšie je asi aby sme tu na fóre nesedeli cez tú nasledujúcu vyučovaciu hodinu.)

[Martin Sleziak]

Tak sme sa po cviku rozprávali o tejto úlohe. Odsúhlasil som vám, že ten krok, čo sa mi nepáčil je ok.

$\sqrt[3]{2} (\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}) \in \mathbb{Q}$

toto by platilo v dvoch pripadoch:
1) $(\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}) = 0$
2) $\sqrt[3]{2}(\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2}) \in \mathbb{Q - 0}$

Vlastne tam ide o to, že nejaký súčin je racionálne číslo. Buď je nulové (prvá vetva), alebo nenulové (druhá vetva).

Stále sú tam však problémy ďalej. Jednak na niektorých miestach sa treba presvedčiť, či nie je nula v menovateli.
Hlavný problém je asi tá implikácia úplne na konci.

$(\frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2})^3 = \frac{k^3}{2l^3} \implies \frac{p}{q} + \frac{x}{y}\sqrt[3]{2} \in \mathbb{Q}$

Tam ste chceli zjavne použiť niečo takéto: $x^3\in\mathbb Q\implies x\in\mathbb Q$.
To však nie je pravda. Jednoduchý kontrapríklad je práve $x=\sqrt[3]2$.
Čiže ak to nejako budete chcieť takýmto spôsobom dokončiť, tak sa tam bude treba dostať k sporu nejako inak.

P.S.
Keď sme sa po cviku rozprávali o tejto úlohe, tak ste spomenuli, že ste sa dosť natrápili, kým sa Vám ju podarilo zapísať na fórum.
Pre prípad, že by mal niekto nejakú dobrú radu pre začiatočníkov v LaTeX-u, som začal tento topic: viewtopic.php?f=8&t=780

[Filip Sulik]

ok takze takto....

$a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{2^2} = 0 \land (a \neq 0 \lor b \neq 0 \lor c \neq 0)$

$b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{2^2} = -a$

$\sqrt[3]{2}(b + c\sqrt[3]{2}) = -a$

$(b + c\sqrt[3]{2}) = \frac{-a}{\sqrt[3]{2}}$

$b + c\sqrt[3]{2} = -\frac{1}{a}\sqrt[3]{2}$

$b + \sqrt[3]{2}(c + \frac{1}{a}) = 0$

$\sqrt[3]{2} = \frac{b}{c + \frac{1}{a}}$ SPOR

[Martin Sleziak]

Tento krok vyzerá dosť podozrivo:

$(b + c\sqrt[3]{2}) = \frac{-a}{\sqrt[3]{2}}$

$b + c\sqrt[3]{2} = -\frac{1}{a}\sqrt[3]{2}$

Ako ste dostali tento výraz?

Ak sa pozrieme na jednoduchý prípad $a=-1$, tak by malo platiť
$\frac1{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2^2}}2$.

Ak by bola pravda to, čo ste napísali vy, tak by muselo platiť.
$\frac1{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{2}$.
To určite nie je pravda - jedno z tých čísel je väčšie ako jedna a jedno je menšie ako jedna.

Alebo ste chceli na oboch stranách napísať prevrátenú hodnotu a na ľavej strane ste na to zabudli?

[Filip Sulik]

Prepacte...to bola tak hlupa chyba, ze mi je luto ze som vas s takou odpovedou otravoval....ale uz som na to prisiel...

ak $b\ne0$, potom $a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{2^2}$ je racionalne ak $\sqrt[3]{2}$ je koren kvadratickeho polynomu nad $\mathbb Q$.

$\sqrt[3]{2}$ je koren $(x^3-2)$, co je neredukovatelne nad $\mathbb Q$.

takze kazdy polynom co ma koren $\sqrt[3]{2}$ musi byt nasobok $(x^3-2)$. Z coho vyplyva, ze $\sqrt[3]{2}$ nieje koren ziadneho kvadratickeho polynomu nad $\mathbb Q$.

a preto
ak $a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{4}$ je racionalne, potom $b=0$.
ale $\sqrt[3]{2}$ je iracionalne, a preto $a=0$.

teda:

$1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}$ su linearne nezavisle nad $\mathbb Q$.