Síce ste úlohu takéhoto typu riešili na prednáške a máte ju vyriešenú aj v LAG1 (príklad 7.8.4). Skúsme sa aj tak pozrieť na viacero spôsobov, ako sa dá riešiť úloha nájsť maticu projekcie na zadaný podpriestor.
(V závislosti od zadania sa niektorý z nich môže niekedy hodiť viac, niekedy menej.)
Ešte spomeniem aj to, že aj ak hľadáme kolmý priemet nejakého konkrétneho vektora, tak to môžeme urobiť i tak, že nájdeme maticu projekcie a zadaný vektor ňou vynásobíme.
Úlohy takéhoto typu môžete nájsť vyriešené tu: viewtopic.php?t=574 a viewtopic.php?t=575
Nájdite maticu ortogonálnej projekcie v $\mathbb R^3$ (so štandardným skalárnym súčinom) na podpriestor $S=[(2,1,2,1),(0,1,1,1),(4,-1,1,2)]$.
Súčasne z predošlej matice vieme vyčítať, ako vyzerá $S^\bot$. (To je presne množina riešení homogénnej sústavy s touto maticou.)
Je to $S^\bot=[(1,2,-2,0)]$.
Priemet do $S^\bot$
Pretože priestor $S^\bot$ je jednorozmerný hľadáme vlastne priemet vektora $\vec x$ do smeru vektora $\vec a=(1,2,-2,0)$. Hodí sa nám zobrať si jednotkový vektor určujúci ten istý podpriestor, t.j. zoberme si $\vec b=\frac1{|\vec a|}\vec a=\frac13(1,2,-2,0)$.
Skalárny súčin $\langle \vec x,\vec b\rangle=\vec x \vec b^T$ určuje presne veľkosť priemetu vektora $\vec x$ do smeru $\vec b$. Teda priemet $\vec x$ môžeme vypočítať ako
$$\langle \vec x,\vec b\rangle\vec b=\vec x\vec b^T\vec b.$$
Z toho vidíme, že matica projekcie do $S^\bot$ je presne
$$P'=\vec b^T\vec b = \frac19 \begin{pmatrix}1\\2\\-2\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&-2&0\end{pmatrix}=
\frac19\begin{pmatrix}
1 & 2 &-2 & 0 \\
2 & 4 &-4 & 0 \\
-2 &-4 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
Maticu kolmej projekcie do podpriestoru $S$ potom dostaneme ako
$$P=I-P'=
\frac19\begin{pmatrix}
8 &-2 & 2 & 0 \\
-2 & 5 & 4 & 0 \\
2 & 4 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 9
\end{pmatrix}
$$
Všimnime si, že obe matice vyšli symetrické. (Z prednášky aj vieme, že matica kolmej projekcii by mala byť symetrická.)
Pri tomto postupe sme ale dosť výrazne využili to, že $S^\bot$ bol jednorozmerný podpriestor. Mali by sme sa zamyslieť aj nad tým, ako by sme riešili takúto úlohu aj v prípade, že ani $S$ ani $S^\bot$ nie sú jednorozmerné.
Vieme, že matica projekcie na $S$ nemení vektory z $S$ a všetky vektory z $S^\bot$ sa majú zobraziť na nulu. Takže vlastne stačí hľadať maticu, ktorá bázové vektory podpriestoru $S$ nemení a bázové vektory $S^\bot$ zobrazuje na nulu. Teda maticu $P$ by sme mohli nájsť aj takto:
Riešenie sústavy
Na zadanú úlohu sa môžeme pozerať aj tak, že pre daný vektor $\vec x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ chceme nájsť jeho vyjadrenie v tvare
$\vec x=a(2,0,1,0)+b(0,1,1,0)+c(0,0,0,1)+d(1,2,-2,0)$.
V tomto vyjadrení prvá časť $a(2,0,1,0)+b(0,1,1,0)+c(0,0,0,1)$ patrí do $S$ a určuje kolmý priemet vektora $\vec x$ do $S$.
Druhá časť $d(1,2,-2,0)$ je kolmý priemet do $S^\bot$.
Riešením sústavy sme dostali
$$
\begin{align*}
a&=\frac49x_1-\frac19x_2+\frac19x_3 \\
b&=-\frac29x_1+\frac59x_2+\frac49x_3 \\
c&=x_4 \\
d&=\frac19x_1+\frac29x_2-\frac29x_3
\end{align*}
$$
To znamená, že kolmá projekcia na $S$ je
$$
\begin{multline*}
p(\vec x)=\left(\frac49x_1-\frac19x_2+\frac19x_3\right)(2,0,1,0)+\left(-\frac29x_1+\frac59x_2+\frac49x_3\right)(0,1,1,0)+x_4(0,0,0,1)=\\=
\left(\frac89x_1-\frac29x_2+\frac29x_3,-\frac29x_1+\frac59x_2+\frac49x_3,\frac29x_1+\frac49x_2+\frac59x_3,x_4\right).
\end{multline*}
$$
Matica tohoto lineárneho zobrazenia je
$$P=
\frac19\begin{pmatrix}
8 &-2 & 2 & 0 \\
-2 & 5 & 4 & 0 \\
2 & 4 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 9
\end{pmatrix}
$$
Ak by sme poznali ortogonálnu bázu $S$, tak môžeme urobiť projekcie na vektory z tejto bázy. (Vieme už, že projekcie do jednorozmerných podpriestorov sa počítajú ľahko.)
A tieto projekcie môžeme jednoducho sčítať. (Skúste si rozmyslieť, prečo takýto postup funguje pre ortogonálnu bázu ale nie pre ľubovoľnú bázu.)
Ak aplikujeme Gram-Schmidtov proces na bázové vektory $(2,0,1,0)$, $(0,1,1,0)$, $(0,0,0,1)$, tak dostaneme ortogonálnu bázu
$\vec a_1=(2,0,1,0)$
$\vec a_2=\frac15(-2,5,4,0)$
$\vec a_3=(0,0,0,1)$
Ak tieto vektory ešte predelíme veľkosťou, dostaneme ortonormálnu bázu.
$\vec b_1=\frac1{\sqrt5}(2,0,1,0)$
$\vec b_2=\frac1{3\sqrt5}(-2,5,4,0)$
$\vec b_3=(0,0,0,1)$