Vzájomná poloha

[Martin Sleziak]

Skupina A

Aká je vzájomná poloha afinných podpriestorov $p$ a $\alpha$ priestoru $(\mathbb R^4,\mathbb R^4)$? (T.j. sú tieto podpriestory mimobežné, rovnobežné, rôznobežné? Alebo nenastane ani jedna z~týchto možností?)\\
Aký je najmenší afinný podpriestor, ktorý obsahuje $p$ aj $\alpha$?\\
$p=\{(1+t,1,2+3t,1+t); t\in\mathbb R\}$, $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4; x_1-x_2+x_3=1, x_2+x_3+x_4=1\}$

Skupina B

Aká je vzájomná poloha afinných podpriestorov $p$ a $\alpha$ priestoru $(\mathbb R^4,\mathbb R^4)$? (T.j. sú tieto podpriestory mimobežné, rovnobežné, rôznobežné? Alebo nenastane ani jedna z~týchto možností?)\\
Aký je najmenší afinný podpriestor, ktorý obsahuje $p$ aj $\alpha$?\\
$p=\{(2+t,1+2t,1,-1+t); t\in\mathbb R\}$, $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4; x_1-x_2+x_3-x_4=1, x_1+x_2+x_3+2x_4=1\}$

Skupina C

Aká je vzájomná poloha afinných podpriestorov $p$ a $\alpha$ priestoru $(\mathbb R^4,\mathbb R^4)$? (T.j. sú tieto podpriestory mimobežné, rovnobežné, rôznobežné? Alebo nenastane ani jedna z~týchto možností?)\\
Aký je najmenší afinný podpriestor, ktorý obsahuje $p$ aj $\alpha$?\\
$p=\{(2+t,1+t,-1-2t,-1+t); t\in\mathbb R\}$, $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4; x_1+x_2-x_3=1, x_2+x_3-x_4=1\}$

Na príklady podobného typu zo starších písomiek sa môžete pozrieť tu: viewtopic.php?t=622

[Martin Sleziak]

Riešenie

Vo všetkých skupinách mala byť odpoveď, že ide o mimobežné priestory.

Na to stačí zobrať parametrické vyjadrenie $p$ a dosadiť ho do rovníc pre $\alpha$. Napríklad v skupine C dostaneme
\begin{align*}
4+4t&=1\\
1-2t&=1
\end{align*}
Zistili sme, že táto sústave nemá riešenie, a teda $B_p\cap B_\alpha=\emptyset$.

Ak si všímame iba homogénne časti, tak dostaneme prienik vektorových zložiek. Konkrétne v skupine $C$ máme
\begin{align*}
4t&=0\\
2t&=0
\end{align*}
Jediné riešenie je $t=0$, čo nám dá $V_p\cap V_\alpha=\{\vec0\}$.

Z toho, že $p$ a $\alpha$ sú mimobežné a z dimenzií priestorov vieme potom zdôvodniť, že najmenší afinný podpriestor obsahujúci $p$ aj $\alpha$ je celé $\mathbb R^4$.

Vieme totiž, že tento podpriestor obsahuje $V_p=[\vec u]=[(1,1,-2,1)]$, $V_\alpha=[\vec v_1,\vec v_2]=[(1,0,1,1),(1,-1,0,-1)]$ a obsahuje aj $\overrightarrow{BA}=(2,0,-1,-1)$ pre $A=(2,1,-1,-1)$, $B=(0,1,0,0)$. (Ako $A$, $B$ môžeme zobrať ľubovoľné body $A\in B_p$, $B\in B_\alpha$.)
Ak sú tieto vektory lineárne nezávislé, ide o štvorrozmerný podpriestor, a teda je to celé $\mathbb R^4$.

Ak by bol vektor $\overrightarrow{BA}$ lineárnou kombináciou vektorov $\vec u$, $\vec v_1$ a $\vec v_2$, tak by sme dostali
$B-A=c\vec u + d_1\vec v_1+d_2\vec v_2$
$P=B-d_1\vec v_1+d_2\vec v_2=A+c\vec u$
Teda by existoval bod, ktorý by patril do $p$ aj $\alpha$.

Pre konkrétne čísla sa o ich lineárnej nezávislosti môžeme presvedčiť aj priamym výpočtom:
$\begin{pmatrix}
1 & 1 &-2 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 &-1 & 0 &-1 \\
2 & 0 &-1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 &-2 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 &-1 & 0 &-1 \\
3 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 &-2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 &-1 & 0 &-1 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 &-2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 &-1 & 0 &-1 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

[Martin Sleziak]

Chyby, ktoré sa vyskytli v odovzdaných riešeniach

Skoro nikto sa nezaoberal v riešení tým, či platí aj $V_\alpha\cap V_\beta=\{\vec 0\}$.

Takisto niektoré riešenia pôsobili dojmom, ako keby rovnobežné, rôznobežné a mimobežné boli jediné možnosti, ktoré môžu nastať. (Videli sme na konkrétnych príkladoch, že sa môže stať, že afinné podpriestory nie sú a ani jednej z týchto polôh.)

Každopádne som to bodoval tak, že ak tam chýbalo zdôvodnenie, že prienik vektorových zložiek je triviálny, a mali ste správny výpočet pre bodové zložky, tak som túto časť stále hodnotil za plný počet. (Aby som vám neukrivdil, ak ste si toto zdôvodnenie domysleli, ale nenapísali ho do písomky. Chcel som ale na to upozorniť aspoň tu, aby ste si boli vedomí, že k úplnému riešeniu takéto niečo ešte chýbalo.)