Skúsim tu napísať riešenie ešte jedného podobného príkladu -- v podstate presne rovnakým spôsobom, len sa ho pokúsim zapísať pomocné výpočty trošičku inak (azda trochu kompaktnejšie).
Samozrejme, ak by ste mali otázky, tak sa tu môžete pýtať. (Alebo ak by ste mali nápad na iné riešenie, tiež ho môžete napísať sem.)
Riešenie.V $\mathbb R^4$ máme zadanú priamku $p$ a rovinu $\alpha$:
$p=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1=1+3t, x_2=2+2t, x_3=-3-t, x_4=4+2t; t\in\mathbb R\}$ a $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1-x_2+x_3-x_4=-2, x_1+x_2+3x_3-x_4=2\}$.
Overte, že $p$ a $\alpha$ sú mimobežné a nájdite ich strednú priečku.$\newcommand{\skl}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}$
Priamku $P$ môžeme parametricky vyjadriť v tvare $A+s\vec x$ ($s\in\mathbb R$), kde $A=(1,2,-3,4)$ a $\vec x=(3,2,-1,2)$.
Najprv sa pokúsme zjednodušiť vyjadrenie roviny $\alpha$ a tiež napísať jej parametrické vyjadrenie.
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-1 & 1 &-1 &-2 \\
1 & 1 & 3 &-1 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-1 & 1 &-1 &-2 \\
2 & 0 & 4 &-2 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 &-1 & 0 \\
1 &-1 & 1 &-1 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 &-1 & 0 \\
0 &-1 &-1 & 0 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 2
\end{array}\right)$
Z týchto úprav vieme zistiť, že $V_\alpha=[(2,1,-1,0),(1,0,0,1)]$.
Takisto vieme nájsť nejaký bod patriaci rovine, napríklad $B=(0,2,0,0)$.
Teda parametricky môžeme rovinu $\alpha$ vyjadriť ako $B+t\vec y+u\vec z$ ($t,u\in\mathbb R$), kde $\vec y=(2,1,-1,0)$, $\vec z=(1,0,0,1)$.
Teraz už ľahko vieme overiť, že $\vec x\notin V_\alpha$. Z toho vyplýva, že $V_p\cap V_\alpha=\{\vec0\}$ a zadané afinnné podpriestory sú mimobežné.
Ľubovoľný bod priamky $p$ má tvar: $X=A+s\vec x$.
Ľubovoľný bod roviny $\alpha$ má tvar: $Y=B+t\vec y+u\vec z$.
Teda vektor určený takýmito bodmi je $\overrightarrow{XY}=Y-X=(B+t\vec y+u\vec z)-(A+s\vec x)=\overrightarrow{AB}+t\vec y+u\vec z-s\vec x$.
Radi by sme našli také hodnoty parametrov $s$, $t$, $u$, pre ktoré je tento vektor kolmý na priamku $p$ aj rovinu $\alpha$.
Teda chceme, aby $\skl{\overrightarrow{XY}}{\vec x}=\skl{\overrightarrow{XY}}{\vec y}=\skl{\overrightarrow{XY}}{\vec z}=0$.
Tieto podmienky môžeme prepísať ako
\begin{align*}
\skl{\overrightarrow{AB}}{\vec x}-s\skl{\vec x}{\vec x}+t\skl{\vec y}{\vec x}+u\skl{\vec z}{\vec x}&=0\\
\skl{\overrightarrow{AB}}{\vec y}-s\skl{\vec x}{\vec y}+t\skl{\vec y}{\vec y}+u\skl{\vec z}{\vec y}&=0\\
\skl{\overrightarrow{AB}}{\vec z}-s\skl{\vec x}{\vec z}+t\skl{\vec y}{\vec z}+u\skl{\vec z}{\vec z}&=0
\end{align*}
Alebo ekvivalentne
\begin{align*}
s\skl{\vec x}{\vec x}-t\skl{\vec y}{\vec x}-u\skl{\vec z}{\vec x}&=\skl{\overrightarrow{AB}}{\vec x}\\
s\skl{\vec x}{\vec y}-t\skl{\vec y}{\vec y}-u\skl{\vec z}{\vec y}&=\skl{\overrightarrow{AB}}{\vec y}\\
s\skl{\vec x}{\vec z}-t\skl{\vec y}{\vec z}-u\skl{\vec z}{\vec z}&=\skl{\overrightarrow{AB}}{\vec z}
\end{align*}
Ak vypočítame jednotlivé skalárne súčiny, ktoré tu vystupujú, tak dostaneme sústavu rovníc, pomocou ktorej vieme nájsť $s$, $t$, $u$.
Spoiler:
18s-9t-5u&=-14\\
9s-6t-2u&=-5\\
5s-2t-2u&=-4
\end{align*}
Riešením tejto sústavy dostaneme $s=-1$, $t=-1$, $u=1$.
Spoiler:
$X=A-\vec x=(-2,0,-2,2)$
$Y=B-\vec y+\vec z=(-1,1,1,1)$
Tieto dva body určujú strednú priečku.
Môžeme skontrolovať, že bod $Y$ naozaj vyhovuje rovniciam určujúcim rovinu $\alpha$.
Takisto vidíme, že vektor $\overrightarrow{XY}=(1,1,3,-1)$ je kolmý na priamku $p$ aj na rovinu $\alpha$.