Množiny pre ktoré $D(A)=\{a-b; a,b\in A\}=\mathbb N$

[Martin Sleziak]

V článku T. Šalát: On ratio sets of sets of natural numbers, Acta Arithmetica (1969), Volume: 15, Issue: 3, page 273-278; https://eudml.org/doc/204899 sa spomínala aj diferenčná množina $D(A)=\{a-b; a,b\in A\}$. Konkrétne tam bol spomenutí Sierpinského výsledok, že ak $\overline d(A)>1/2$, tak $D(A)=\mathbb Z$. (Článok, na ktorý tam je odkaz, je W. Sierpinski · Elemente der Mathematik (1964). Volume: 19, page 27-29; https://eudml.org/doc/204899 ) Keď as referoval tento článok, tak padla otázka, či existuje množina $A\subseteq\mathbb N$ taká, že $\overline d(A)<\frac12$ a $D(A)=\mathbb Z$.

Neviem, či ste to už riešili, ale existuje, dokonca s nulovou asymptotickou hustotou. Napr. $A = \{ 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, \ldots \}$.

Ak som správne pochopil, tak si zobral $a_{n+2}=1+1+2+3+\dots+n= \frac{n(n+1)}2+1$.
Takže $n=a_{n+2}-a_{n+1} \in D(A)$.