Poznámka k riadkovým operáciam

[Martin Sleziak]

Dnes sme už na prednáške zadefinovali elementárne riadkové operácie, ktoré budeme často používať na výpočet rôznych vecí.

Jedna z nich je to, že sa oplatí naučiť sa, ako sa pri úprave na redukovanú trojuholníkovú maticu dá spraviť aspoň čiastočná skúška správnosti a ako sa dá hľadať chyba v použitých úpravách, ak skúška nevyjde - toto máte na konci podkapitoly o riadkovej ekvivalencii (v aktuálnej verzii textu je to poznámka 5.2.18).

Ešte by som rád ale spomenul jednu ďalšiu vec. (Ktorá v poznámkach nie je - doplním ju, keď najbližšie budem dávať na web novšiu verziu.)

Pomerne často sa študenti robia pri úpravách matíc niečo také, že namiesto pripočítania $c$-násobku niektoré riadku k inému urobia $c$-násobok niektorého riadku a pripočítajú iný riadok. (Alebo dokonca násobok iného riadku.)
Napríklad sa vyskytuje
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1\\
1 & -2 & -2
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1\\
0 & 4 & 1
\end{pmatrix}
$$
pričom použitá úprava je $\mathrm{2:r=1r-2r}$, t.j. druhý riadok je nahradený rozdielom prvý riadok mínus druhý riadok.

Takáto úprava by bola (v podstate) v poriadku, pretože sme sa od matice $\begin{pmatrix}\vec\alpha_1\\\vec\alpha_2\end{pmatrix}$ dostali k matici
$\begin{pmatrix}\vec\alpha_1\\\vec\alpha_1-\vec\alpha_2\end{pmatrix}$, ktorá je s pôvodnou maticou riadkovo ekvivalentná. Vieme je totiž dostať tak, že postupne robíme tieto úpravy: vynásobíme druhý riadok číslom $(-1)$ a potom pripočítame prvý riadok ($1$-násobok prvého riadku).
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1\\
1 & -2 & -2
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1\\
-1 & 2 & 2
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1\\
0 & 4 & 1
\end{pmatrix}
$$
Teda sme vlastne iba naraz zapísali viacero úprav naraz, čo sme robili už aj predtým.

Napriek tomu, by som považoval za rozumné sa takémuto typu úprav vyhnúť. (Alebo si aspoň vždy poriadne premyslieť, aké úpravy ste urobili, ak ich takto skombinujete viacero naraz.) Sú na to dva dôvody.

Môže sa potom stať, že spravíte takúto chybu: Urobíte úpravu, že prvý riadok nahradíte rozdielom druhý riadok mínus prvý riadok (čo je v poriadku -- len ste spojili viac úprav do jednej) a druhý riadok upravíte podobne ako v predošlom príklade. T.j. spravili sme takéto veci: $\mathrm{1r:=2r-1r}$, $\mathrm{2r:=1r-2r}$. Pozrime sa, čo dostaneme takouto úpravou (a čo vyjde ak pokračujeme ďalej).
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1\\
1 & -2 & -2
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
0 & -4 & -1\\
0 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
0 & -4 & -1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
Takto sme dostali z matice hodnosti 2 maticu hodnosti 1, čiže je tam zjavne niekde chyba. (A určite ľahko prídete na to kde.)

Predošlému problému by sme sa vedeli vyhnúť, ak by sme neurobili viac takých "zlých" úprav naraz. Aj tak sa mi zdá rozumnejšie nezvykať si príliš na používanie úprav takéhoto typu. Dôvod je ten, že aj keď by to bolo v poriadku teraz (kým nás zaujíma len riadková ekvivalencia, hodnosť, podpriestore prislúchajúci matici a podobné veci), mohlo by nám to narobiť problémy pri počítaní determinantov. Neskôr sa naučíme, ako sa dajú používať elementárne riadkové operácie na počítanie determinantov. Budeme využívať fakt, že výmena riadkov mení determinant na opačný, pripočítanie násobku niektorého riadku k inému determinant nezmení, a vynásobenie konštantou $c$ zmení determinant $c$-krát. Ak by sme použili úpravu typu $\mathrm{2r:=1r-2r}$, tak veľmi ľahko prehliadneme, že táto úprava je zložená z viacerých, kde jedna z nich je vynásobenie matice číslom $-1$ (a teda aj determinant by sa mal zmeniť na $(-1)$-násobok). Veľmi sa to totiž podobá na typ operácie "pripočítanie násobku riadku k inému" (ako $\mathrm{2r:=2r-1r}$), ktoré determinant nemení.

TL;DR: Ak používate viacero úprav naraz, treba si vždy poriadne uvedomiť, aké úpravy ste použili. A možno je lepšie nepoužívať naraz viac úprav rôznych typov. (Ak pripočítam násobok prvého riadku k druhému i k tretiemu v tom istom kroku, veľmi sa nemám kde pomýliť. Ak pripočítam k druhému riadku prvý i tretí súčasne, tiež sa nie je veľmi kde pomýliť. Z príkladov, ktoré som uviedol, by mohlo byť vidieť, že ak kombinujem viacero úprav rôznych typov, alebo počítam s už upraveným riadkom, dá sa vcelku ľahko spraviť chyba.)