Suma $\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom{n}{k}= 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$

[Martin Sleziak]

Dostal som mailom otázku k tejto úlohe:

Dokážte: $$\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom{n}{k}= 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$$

Je to úloha 3b z 07cvicenie_cesty.pdf

Tvárme sa, že už máme vyriešnú úlohu 3a: viewtopic.php?t=984
Teda vieme, že $$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} \binom{n}{k} = \frac{1}{n+1}(2^{n+1} - 1).$$

Pozrime sa na to, či nám to nejako pomôže pri tejto úlohe.

Označme si
$$S_n= \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom{n}{k}$$
sumu, ktorú chceme vypočítať.

Hint: Vedeli by ste vypočítať $S_{n+1}-S_n$?

Výsledok by vám mal vyjsť takto:

Spoiler:

$S_{n+1}-S_n = \frac1{n+1}$

Tu je detailný výpočet:

Spoiler:

\begin{align*}
S_{n+1}-S_n
&= \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom{n+1}{k} - \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom{n}{k}\\
&= \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}\frac{1}{k}\left(\binom{n+1}{k} - \binom nk\right) \\
&= \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}\frac{1}{k} \binom n{k-1} \\
&= \sum\limits_{j=0}^{n} (-1)^{j}\frac{1}{j+1} \binom nj \\
&\overset{a)}= \frac1{n+1}
\end{align*}

Ak už ste dostali toto vyjadrenie pre rozdiel po sebe idúcich členov postupnosti $S_n$, t.j. viete, čomu sa rovná $S_{n+1}-S_n$, viete z toho dostať vyjadrenie pre $S_n$?

Spoiler:

Skúste si to prepísať ako teleskopický rad alebo dokázať indukciou.

A azda by som mal ako obvykle pridať linky. Narýchlo som vedel nájsť tieto:
* A finite sum involving the binomial coefficients and the harmonic numbers
* Proving Binomial Identity without calculus