1. seminár: Fibonacciho čísla - dôkaz niektorých identít pre Fibonacciho čísla s použitím matíc.
07fibon.pdf
Bakalárska práca Fibonacciho a Lucasove čísla.
Článok D. Kalman and R. Mena: The Fibonacci numbers – exposed.
B. Johnson: Fibonacci numbers and matrices.
2. seminár:
Kimberly Robertson, William Staton: A Short Proof of Chebychev's Upper Bound, Mathematics Magazine Vol. 78, No. 5 (Dec., 2005), pp. 385-387
Limita s prvočíslami
J. A. Scott: 84.25 On a Limit for Prime Numbers, The Mathematical Gazette, Vol. 84, No. 499 (Mar., 2000), pp. 115-116
Sebastian Martin Ruiz: 81.27 A Result on Prime Numbers, The Mathematical Gazette, Vol. 81, No. 491 (Jul., 1997), pp. 269-270
3. seminár: Iracionalita geometricky
S. J. Miller, D. Montague: Rational irrationality proofs
S. J. Miller, D. Montague: Irrationality From The Book
Ak by ste chceli vyskúšať, či sa podobné úvahy nedajú robiť aj pre iné útvary, tu je pár obrázkov a metapostový zdroják:
polygony.ps polygony.pdf polygony2.ps polygony2.pdf ngon.mp
4. seminár: Kombinatorické dôkazy identít o Fibonacciho číslach
Z knihy Benjamin, Quinn: Proofs that Really Count a z tejto bakalárskej práce.
5. seminár: Charakterizácia Fibonacciho čísel
N je Fibonacciho číslo práve vtedy, keď 5n^2+4 alebo 5n^2-4 je štvorec.
P. James: When is a number Fibonacci?
I. Gessel: Fibonacci is a square, Problem H-187
O ďalších spôsoboch overenia, či dané číslo je členom Fibonacciho postupnosti, sa niečo dá nájsť tu.
6. seminár:
Egyptské zlomky
J. C. Owings, Jr.: Another Proof of the Egyptian Fraction Theorem, The American Mathematical Monthly , Vol. 75, No. 7 (Aug. - Sep., 1968), pp. 777-778.
Ten istý dôkaz je znázornený graficky ako Proof 25 tu.
Obvyklý dôkaz, sa dá nájsť na mnohých miestach, napríklad tu alebo tu.
Pytagorovské štvorice
Pytagorovské štvorice - z knihy Andreescu, Andrica, Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations.
7. a 8. seminár:
Stone-Čechova kompaktifikácia a Hindmanova veta
Najprv si povieme niečo o Stone-Čechovej kompaktifikácii prirodzených čísel (s diskrétnou topológiou). Konrétne budeme potrebovať popis pomocou ultrafiltrov.
Dosť veľa z týchto vecí sa dá nájsť v tejto diplomovej práci.
Potom si ukážeme, ako sa dá pomocou nej ukázať Hindmanova veta.
Nejaké (nekompletné) poznámky sú tu a tu je detailnejšia verzia (viac podrobností v niektorých dôkazoch).
9. seminár:
Použitie okruhu Z[i] na riešenie diofantických rovníc
Podkapitola 4.1 z knihy Andreescu, Andrica, Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations.
10. seminár:
Larry J. Gerstein: Pythagorean Triples and Inner Products, Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 3 (Jun., 2005), pp. 205-213.
11. seminár:
Lionel Levine: Fermat's Little Theorem: A Proof by Function Iteration, Mathematics Magazine, Vol. 72, No. 4, Oct., 1999, pp. 308-309
Nutná podmienka pre nepárne dokonalé čísla - Judy A. Holdener: A Theorem of Touchard on the Form of Odd Perfect Numbers, The American Mathematical Monthly , Vol. 109, No. 7 (Aug. - Sep., 2002), pp. 661-663.
Témy na ďalšie semináre: