\documentclass{article}

\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[slovak]{babel}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{euscript}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{paralist}
\usepackage{xspace}
%\usepackage{slovak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xy}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{paralist}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage[thinspaces]{fancynum}
%\usepackage[nolabel]{showlabels}
\usepackage{showlabels}
\usepackage{url}
\usepackage{comment}

\xyoption{all} \CompileMatrices

\newcommand{\MAKDIR}{d:/martin/tex/}
%\newcommand{\MAKDIR}{j:/tex/}
%\newcommand{\MAKDIR}{}
%\newcommand{\BIBDIR}{\MAKDIR bib/}
%\newcommand{\OBRDIR}{\MAKDIR eps/}
%\newcommand{\OBRDIR}{\MAKDIR vyuka/tc2006/eps/}
%\newcommand{\OBRDIR}{j:/tex/vyuka/tc2006/eps/}

\input \MAKDIR makra2
\input \MAKDIR skratky2

%\includecomment{mine}
\excludecomment{mine}
\includecomment{riesenia}
%\excludecomment{riesenia}

\newcommand{\skok}{\vspace{\baselineskip}}



\begin{document}



\section*{Domáca úloha č. 7}

%Zverejnená 23.10.2015 - odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach 4.11. a 5.11.
%Zverejnená 2.11.2017 - odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach 16.11.
%Zverejnená 5.11.2018 - odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach 19.11 a 20.11.
Zverejnená 3.11.2020 - odovzdáva sa najneskôr v~piatok 13.11.

Vo všetkých skupinách je zadaná nejaká podmnožina $S$ priestoru $V$ všetkých reálnych postupností (so sčitovaním a násobením definovaným tak ako ste videli na prednáške/cvičení -- je to vektorový priestor nad poľom $\mathbb R$). Vašou úlohou je zistiť či $S$ je podpriestor.

\skok

\noindent 1. $S=\{x=(x_n)\in V; (\exists n_0\in\mathbb N)(\forall n\ge n_0) x_n=0\}$ (inými slovami, iba postupnosti ktoré majú iba konečne veľa nenulových členov).

\skok

\noindent 2. $S=\{x=(x_n)\in V; (\forall n\in\mathbb N)x_{2n}=x_{2n+1}\}$.

\skok

\noindent 3. $S=\{x=(x_n)\in V; (\exists C\in\mathbb R)(\forall n\in\mathbb N) |x_n| \le Cn\}$ (t.j. podiel $|x_n|/n$ je ohraničený nejakou konštantou).

\skok

\noindent 4. $S=\{x=(x_n)\in V; (\forall n\in\mathbb N) x_n\in\mathbb Q\}$.

\skok

\noindent
%Rozdelenie -- podľa priezviska: 1 riešia A-G, 2 riešia H-M, 3 riešia N-R, 4 riešia S-Z
\input{mena}

\end{document}
