msleziak.com

Úloha 3.2.5. Dokážte, že každá grupa, ktorá má menej ako $6$ prvkov, je komutatívna. Pred dokazovaním úlohy si dokážeme následujúcu vetu ktorá sa nám ďalej zíde: Každá cyklická grupa je komutatívna Dôkaz: Nech cyklická grupa $G$ je generovaná prvkom $g$. Majme prvky $a = g^{m}$ a $b = g^{n}$ z $G$. ...

Úloha 4.2.12. Dokážte, že okruhy ($2\mathbb{Z}$, +, ·) a ($3\mathbb{Z}$, +, ·) nie sú izomorfné. Dôkaz: Predpokladajme že okruhy sú izomorfné. Potom existuje izomorfizmus $$f: 2\mathbb{Z} \rightarrow 3\mathbb{Z}$$ Položme $f(2) = 3a$ pre nejaké $a \in \mathbb{Z}$. Potom dokážeme $f(4)$ vyjadriť dvom...