msleziak.com

Zadanie: Dokážte: Ak $H$ je podgrupa grupy $(G, ·)$ tak $H^2 = H · H = H$. Riešenie: $H·H=\{a·b; a, b \in H\}$, keďže $H$ je podgrupa grupy $G$, tak pre ľubovoľné $a, b \in H$ platí $a, b \in H \rightarrow a · b ∈ H$. Teda každý prvok z $H·H$ je aj v $H$. Keďže $H$ je podgrupa, tak tam určite patrí...

Zadanie: Ak $A$ a $B$ sú normálne podgrupy $G$, $a \in A$ a $b \in B$, tak $aba^{-1}b^{−1} \in A \cap B$. Riešenie: Keďže $B$ je normálna podgrupa grupy $G$, tak z definície normálnej podgrupy platí, že $xBx^{-1} = B$, pre všetky $x \in G$. Keďže $A \subseteq G$, tak pre všetky $a' \in A$ platí $a'...

Zadanie: Nech $(G, \circ)$ je grupa. Dokážte, že zobrazenie $f : G \rightarrow G$ definované ako $f(x) = x^{−1}$ je bijekcia. Riešenie: Podľa tvrdenia 2.2.16 inverzné zobrazenie k $f$ existuje práve vtedy, keď $f$ je bijekcia. Teda ak najdeme inverzné zobrazenie k $f$, vyplynie z toho, že $f$ je bi...

Zadanie: Nech konečná množina $G = \{e, a_1, \dots , a_n\}$ tvorí s operáciou $∗$ komutatívnu grupu a $e$ je jej neutrálny prvok. Dokážte, že $(a_1 ∗ a_2 ∗ \dots ∗ a_n)^ 2 = e$. Riešenie : Z riešenia úlohy 3.2.12 vyplýva, že $f$ také, že $f(a) = a^{-1}$ je bijekcia na $\{e, a_1, \dots , a_n\}$. Z t...

Zadanie: Zistite, či $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$ je regulárna a) nad $\mathbb{Z_2}$ b) nad $\mathbb{Z_3}$, ak áno, nájdite inverznú. Riešenie: a) Nech $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmat...

Zadanie: Dokážte, alebo vyvráťte nasledujúce tvrdenie: Ak $A, B$ sú štvorcové matice typu $n × n$ a $A^2 = B^2$, tak $A = B$ alebo $A = −B$. Riešenie: Tvrdenie neplatí. Nech $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\2 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}$. Potom $A^2 ...

Zadanie: Nech $f : V \rightarrow W$ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru $V$ do vektorového priestoru $W$ nad poľom $F$. Dokážte: Ak $S$ je podpriestor vektorového priestoru $V$ , tak $f[S] = \{f(\vec{\alpha}); \vec{\alpha} ∈ S\}$ je podpriestor vektorového priestoru $W$. Ak $T$ je podpri...