msleziak.com

Úloha 9.1. Nech $f\colon U\to V$, $g,h \colon V\to W$ sú lineárne zobrazenia. Súčet lineárnych zobrazení definujeme ako $(g+h)(\vec\alpha)=g(\vec\alpha)+h(\vec\alpha)$. Vcelku ľahko sa dá ukázať, že súčet lineárnych zobrazení je lineárne zobrazenie. Dokážte, že platí $(g+h)\circ f=g\circ f+h\circ f...

Nech $V$ a $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ a $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie. Dokážte: Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ sú lineárne závislé vektory, tak aj $f(\vec\alpha_1), \ldots, f(\vec\alpha_n)$ sú lineárne závislé vektory. Ak sú vektory $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ lin...

Pardon, veru som tam mala chybu - determinant je $2c(c-1) + 2c^2(c+1) - 2c(c+1) - 4c^2 = 2c(c-1+c^2+c-c-1-2c) = 2c(c^2 - c - 2)$. Determinant je teda nulový vtedy, keď $2c = 0 \Rightarrow c = 0$ alebo $c^2 - c - 2 = 0 \Rightarrow c = \frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2} = \frac{1\pm 3}{2}$, teda $h(M) \leq 2$ p...

Vypočítajte determinant matice $\begin{vmatrix} 2 & c+1 & 0 \\ 2 & c-1 & 2c \\ c & c & c \end{vmatrix}$ Viete na základe výsledku povedať niečo o hodnosti tejto matice aspoň pre niektoré hodnoty parametra $c\in\mathbb R$? $\begin{vmatrix} 2 & c+1 & 0 \\ 2 & c-1 &a...

Tak som sa teda ogabala 2-krát, pardon za chaosenie. Majúc $ad+bc=0$ $2ac+bd=2$ (ktoré sme získali na základe toho, že inak by došlo k sporu), stačí vyriešiť sústavu, čím dostaneme $c = -\frac{2a}{b^2-2a^2}$ $d = \frac{2b}{b^2-2a^2}$ Takže $-\frac{2a}{b^2-2a^2} + \frac{\frac{2b}{b^2-2a^2}}{\sqrt 2}$...

Uf, tak som sa tuším ogabala: problém je v existencii inverzného prvku v $(F \setminus \{ 0 \}, \cdot)$. To, že vo všeobecnosti inverzný prvok neexistuje, dokážem sporom: Predpokladajme, že mám IP k $(a + \frac{b}{\sqrt 2})$, nech je to $(c + \frac{d}{\sqrt 2})$. Keďže je to IP, platí $ (a + \frac{b...

Úloha: Zistite, či $F=\{a+\frac b{\sqrt2}; a\in \mathbb Q, b\in \mathbb Q\}$ je pole. Celá úloha sa dá vyriešiť uvedomením si 2 vecí: $+$ aj $\cdot$ sú binárne operácie nad $F$ (teda výsledok akéhokoľvek sčítania alebo násobenia bude mať tvar $a_r + \frac{b_r}{\sqrt 2}$): $\forall a_1, b_1, a_2, b_2...

Úloha 2.3. Ak $(G,\circ)$ je grupa a $a\in G$ je nejaký jej prvok, tak zobrazenie $f_a\colon G\to G$ definované ako $f_a(b)=a\circ b$ je bijekcia. Vieme, že $(G,\circ)$ je grupa, teda platí: $ \forall a, b, c \in G\colon (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) $ ($\circ$ je asociatívna) $ \exists...