msleziak.com

Príklad (vlastný): Nájdite všetky homomorfizmy okruhu $(\Bbb Z_{42},\oplus.\odot)$ do okruhu $(\Bbb Z_{70},\oplus,\odot)$. Riešenie. Nájdeme najprv homomorfizmy zodpovedajúcich grúp. Jednotku zo $\Bbb Z_{42}$ musíme zobraziť na prvok s rádom, ktorý je spoločným deliteľom $42$ a $70$: rád 1: 0; rád ...

Ak chceme hľadať homomorfizmus okruhov $(\Bbb Z_m,\oplus,\odot)$ a $(\Bbb Z_m,\oplus,\odot)$, tak môžeme začať tým, že najprv nájdeme homomorfizmus grupy $(\Bbb Z_m,\oplus)$ do $(\Bbb Z_n,\oplus).$ Potom musíme ešte overiť, či ten homomorfizmus zachováva násobenie. Na to môže byť užitočná nasledujúc...

Príklad ATA 3.7.8 Nájdite všetky $24 \ge n > 0$, pre ktoré existuje netriviálny homomorfizmus z grupy $(\Bbb Z_{24},\oplus)$ do grupy $(\Bbb Z_n,\oplus)$. Riešenie: Podľa lemy 2, aby medzi grupami $\Bbb Z_{24}$ a $\Bbb Z_n$ existoval netriviálny homomorfizmus, musia mať čísla $24$ a $n$ spoločného ...

Príklad ATA 3.7.9 Nájdite všetky homomorfizmy z grupy $(\Bbb Z_{18},\oplus)$ do grupy $(\Bbb Z_{24},\oplus)$. Svoje tvrdenie dokážte! Riešenie: $[1] = \Bbb Z_{18}$. Podľa lemy 2 musíme jednotku zobraziť na prvok s rádom, ktorý je spoločným deliteľom 18 a 24: rád 1: 0; rád 2: 12; rád 3: 8, 16; rád 6...

Vznikla medzi nami otázka ako hľadať homomorfizmy medzi cyklickými grupami $(\Bbb Z_n,\oplus$) , resp. im zodpovedajúcimi okruhmi $(\Bbb Z_n,\oplus,\odot)$ a hlavne ako šikovne overiť, že nejaké zobrazenie je homomorfizmom, okrem vyskúšania všetkých možností. Tak som sa rozhodol, že sem niečo o tom ...