msleziak.com

Nech $G$ je grupa regulárnych matíc typu 2x2($\mathbb{R}$) s násobením a $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $. Dokážte, že rád(A) = 4, rád(B) = 3, ale rád(AB) = $\infty$. Aby sme overili, že rád(A)=4 musíme overiť...

Nech $G$ je grupa a $a,b \in G$ sú prvky také, že $a$, $b$ aj $ab$ majú rád 2. Dokážte, že $ab=ba$. Keďže rád prvku $ab$ je 2, platí $(ab)(ab)=e$. Keďže rád prvkov $a$, $b$ je 2, platí $(ab)(ba)$ = (asociatívnosť) = $a(bb)a$ = (rád prvku $b$ je 2) = $a(e)a$ = (neutrálny prvok) = $aa$ = (rád prvku $a...

a) Ukážte, že grupa ($\mathbb{Q},+$) nie je cyklická. Sporom. Nech ($\mathbb{Q},+$) je cyklická grupa, potom $\exists a \in \mathbb{Q}$ také, že $\forall g \in \mathbb{Q} \quad \exists n \in \mathbb{Z}: \quad g = na$. Zrejme $a \neq 0$, pretože rovnica $3 = n.0$ nemá v $\mathbb{Z}$ riešenie. Ďalej z...

Nech $(G,.)$ je grupa. Pre $a \in G$ označíme $C_G(a) = {\ x \in G: \quad xa = ax }\ $. Dokážte, že $C_G(a)$ je podgrupa grupy $G$. Čomu sa rovná $C_G(e)$? Čomu sa rovná $C_G(a)$, ak $G$ je komutatívna grupa? Začneme odzadu. Ak $G$ je komutatívna grupa, tak $xa = ax$ platí zrejme pre každú dvojicu $...

Nech $f,g: G \to H$ sú homomorfizmy grúp. Je množina $\{ a \in G: f(a) = g(a) \}$ podgrupa grupy $G$? Označme uvažovanú množinu $X$. Zrejme $X \neq \emptyset$, pretože $f,g$ sú homomorfizmy grúp a tie zobrazia neutrálne prvky grupy $G$ na ten istý neutrálny prvok grupy $H$, teda $e \in X$. Ďalej zre...

Nech $(G,\circ)$ je grupa. Je zobrazenie $g \mapsto g^{-1}$ izomorfizmus z $G$ na $G$? Ak nie, vedeli by ste definovať binárnu operáciu $\ast$ na $G$ tak, aby toto zobrazenie bol izomorfizmus grúp $(G, \circ)$ a $(G, \ast)$? Je uvedené zobrazenie izomorfizmus, ak je $G$ komutatívna? Zobrazenie $f: G...

V prvej časti dôkazu chceme ukázať, že $A \ast B \in gHg^{-1}$. Predpokladáme, že dva prvky $A, B$ patria do $gHg^{-1}$, teda sa dajú zapísať ako $A = gag^{-1}, B = gbg^{-1}$ pre $a, b \in H$. Pre $A \ast B$ potom platí: $A \ast B = (gag^{-1}) \ast (gbg^{-1})$ - asociatívnosť $A \ast B = ga(g^{-1} \...

Máte pravdu, našla som ho ako príklad 3.2.15., ale aj tam to vyzerá, že to zostalo nedoriešené a bez bodu.

Definícia operácie je $(a,b) \ast (c,d) = (ac + 2bd, ad + bc)$.

Nech $H$ je vlastná podgrupa grupy $G$. Dokážte, že $[G-H] = G$. Keďže symbol $[G-H]$ označuje podgrupu $G$ s istými vlastnosťami, zrejme $[G-H] \subset G$. Zostáva teda ukázať len opačnú inklúziu. Pretože $G \neq H$, musí existovať prvok $g \in G$ taký, že $g \notin H$, teda $g \in G-H$. Keďže $H$ ...