msleziak.com

3.2.19. Nech $(G,\circ)$ je grupa. Dokážte, že ak $x \circ x = x$, tak $x = e$. $(G,\circ)$ je grupa. Ak $x \in G$, musí k nemu existovať inverzný prvok $x^{-1}$ taký, že $x \circ x^{-1} = x^{-1} \circ x = e$, kde $e$ je neutrálny prvok v grupe. Nech platí $x \circ x = x$, túto rovnosť zľava prenáso...

3.2.18. Nech $\ast$ je binárna operácia na množine $A$ taká, že pre každé $a, b, c \in A$ platí $a \ast (b \ast c) = (a \ast c ) \ast b$ a $\ast$ má neutrálny prvok. Dokážte, že operácia je komutatívna a asociatívna. Operácia má na množine neutrálny prvok, označme ho $e$. Platí $\exists e \in A \for...

3.2.17. Nech konečná množina $G=\{e,a_1,...,a_n\}$ tvorí s operáciou $\ast$ komutatívnu grupu a $e$ je jej neutrálny prvok. Dokážte, že $(a_1 \ast a_2 \ast ... \ast e)^2 = e$. Keďže $(G,\ast)$ je grupa, musí ku každému prvku $a_i \in G$ existovať prvok $a_i^{-1}$ taký, že $a_i \ast a_i^{-1} = e$. Ak...

3.2.11. Ak $(G,\circ)$ je grupa a $a \in G$ je nejaký jej prvok, tak zobrazenie $f_a: G \to G$ definované ako $f_a(b) = a \circ b$ je bijekcia. Ukážeme, že $f_a$ je injekcia. Nech pre nejaké $b_1, b_2 \in G: \quad f_a(b_1) = f_a(b_2)$. Potom podľa definície $a \circ b_1 = a \circ b_2$. Keďže $(G, \c...

3.2.7. Tvorí množina $M$ spolu s operáciou skladania zobrazení grupu? a) $M = \{ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f$ je bijekcia$\}$ Musíme overiť, že I. $M$ je neprázdna množina. To zrejme platí, napríklad identita na množine $\mathbb{Z}$ $id_{\mathbb{Z}}$ je bijekcia. II. $\circ$ je binárna operácia ...

3.1.4. Na $\mathbb{R}$ definujme operáciu $x \ast y = x + y + x^2y$. Overte, že každé $x \in \mathbb{R}$ má vzhľadom na túto operáciu jediný pravý, ale existujú čísla, ktoré nemajú ľavý inverzný prvok. Aby malo zmysel hovoriť o inverznom prvku, musíme overiť, či existuje neutrálny prvok vzhľadom na ...

2.2.9. Dokážte: Zobrazenie $f: X \to Y$ je injekcia práve vtedy, keď pre každú množinu $Z$ a všetky zobrazenia $g,h: Z \to X$ platí: $f \circ g = f \circ h \Rightarrow g = h$. $\Rightarrow$ Nech $f$ je injekcia, teda $\forall x_1, x_2 \in X: \quad f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$. Nech $f \cir...

2.2.8. Dokážte: Zobrazenie $f: X \to Y$ je surjekcia práve vtedy, keď pre každú množinu $Z$ a všetky zobrazenia $g, h: Y \to Z$ platí $g \circ f = h \circ f \Rightarrow g = h$. $\Leftarrow$ Nech pre každú množinu $Z$ a všetky zobrazenia $g, h: Y \to Z$ platí $g \circ f = h \circ f \Rightarrow g = h$...

2.2.7. Nech $A$ je konečná množina a $f: A \to A$ je zobrazenie. Dokážte: a) Ak $f$ je injekcia, tak $f$ je bijekcia. Nech $f$ je injekcia, potom pre $\forall x,y \in A" \quad x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$. Pretože $f$ je zobrazenie, každému prvku z $x \in A$ priradí práve jeden prvok $y...

2.2.6. Nech $M, N$ sú konečné množiny, $M$ má $m$ prvkov a $N$ má $n$ prvkov. Koľko existuje zobrazení množiny $M$ do množiny $N$? Zobrazenie každému prvku z množiny $M$ priradí práve jeden prvok z množiny $N$. Keďže ide o zobrazenie "do" množiny a nie "na" množinu, toto zobrazen...