msleziak.com

4.1.2 Dokážte, že F je vekt. priestor nad F Inými slovami (ak som správne porozumel zadaniu, že F označuje pole), nech $F=(G,+,*)$ je pole, potom $((G,+,*)(G,+)*)$ je vektorový priestor. $(G,+)$ je komutatívna grupa, pretože $(G,+,*)$ je pole. ďalej pre $\forall a,b,c, \in G$ platí $(a+b)*c= a*c + b...

3.2.23 ak pre $ \forall x \in (G, \circ )$ platí $x \circ x = e$ tak je to komutatívna grupa. Zadanie nám hovorí, že pre každý prvok patriaci grupe platí, že je sám sebe inverzný. $x \circ x = e$ zľava prenásobíme $a$ a potom aj sprava $a$, kde $ a \in G $ to je $ a \circ x \circ x \circ a = a \circ...

3.2.16 Nech $(g, * )$ je grupa a $a \in G$. Potom pre $ \forall n \in \mathbb{N}$ definujeme indukciou prvok $a^n$ nasledovne: $a^0 = e$ $a^{n+1} = a^n * a$ pre záporné $a^{-n} = (a^{-1})^n$. Dokážte, že pre ľubovoľné $a,b \in G$ a $m,n \in \mathbb{Z}$ platí: a) $a^{n+m} = a^n * a^m$ $a^{n+m} = e * ...

Neviem, či je vhodné zakladať nové vlákno, aby to tu zostalo prehľadné, preto sem prikladám riešenia iných úloh: 3.2.15 Dokážte, že konečná grupa s párnym počtom prvkov obsahuje prvok rôzny od neutrálneho taký, že $a \circ a=e$. Platí $e \circ e = e$ čiže e je sám sebe inverzný. Pre grupu platí, že ...

Možno iný dôkaz k 2.2.2. Dokážte, že ak $g \circ f$ je injekcia, tak aj f je injekcia. Sporom, nech $g \circ f$ je injekcia a f nieje injekcia. potom $\exists x_1,x_2 \in X: x_1 \neq x_2 \land f(x_1)=f(x_2)$. Označme $f(x_1) = f(x_2) = y_0 \in Y$ nech $g(y_0)=z_0$. Keďže $g$ je funkcia, to to implik...