msleziak.com

Ospravedlňujem sa, nesprávne som to formuloval, myslel som tým, že, ak $K$ je podgrupa $H$ tak spĺňa podmienky podgrupy, a keďže $H$ je podgrupa $G$, tak $H$ obsahuje len prvky z $G$ a teda ak $K$ obsahuje len prvky z $H$ tak to implikuje, že $K$ obsahuje len prvky z $G$, teda musí byť podgrupou, in...

V podstate by som na to zas použil zákony o krátení, ak by som mal dvojice $\{x,x^{-1}\}$ a $\{(x^{-1})^{-1},x^{-1}\}$ tak potom $e= (x^{-1})^{-1} \circ x^{-1}$ $ = x \circ x^{-1} = e \implies x =(x^{-1})^{-1} $ Teda by to bola tá istá dvojica - nemohla by vzniknúť napr. trojica z dvoch rôznych dvoj...

3.2.3 Ak G je konečná grupa, H je podgrupa G a K je podgrupa H, tak potom [G:K]= [G:H][H:K] Podľa Lagrangeovej vety, keďže $G$ je konečná a $H$ je jej podgrupa platí $|G|=|H|[G:H]$ rovnako, keďže $|H| \leq |G|$ tak aj $H$ je konečná a $K$ je jej podgrupa tak $|H|=|K|[H:K]$ tedaspojením týchto dvoch ...

3.2.6 Dokážte, že každá 8-prvková grupa obsahuje dvojprvkovú podgrupu. Lagrangeova veta hovorí, že počet prvkov podgrupy $H$ delí počet prvkov grupy $G$. 8 prvková grupa $G$ teda môže mať podgrupy s počtami prvkov $ 1, 2 $ alebo $4$. Dokážme, že 2 prvková podgrupa sa tam určite nachádza. Dvojprvková...

3.2.4 Dokážte, že každá menej ako 6 prvková grupa je komutatívna. Aby bola grupa G nekomutatívna, musí platiť $\exists x,y \in G: x * y \neq y * x$ Je zrejmé, že musí platiť $x \neq y$ lebo potom by sa obe strany rovnali. Zároveň, keďže platí $ x * e = x$ a $ y * e = y $, tak ak by aspoň jeden z prv...

Prikladám svoje (nebodované) riešenie z minulého semestra, doplnené časťou, ktorá mu chýbala: Platí $e \circ e = e$ čiže $e$ je sám sebe inverzný. Pre grupu platí, že pre $ \forall x \in G \exists !x^{−1}:x \circ x^{−1}=e $ (vyplýva to z toho tvrdenia na prednáške, že ak má prvok 2 ľavé inverzné tak...

4.1.2 Dokážte, že F je vekt. priestor nad F Inými slovami (ak som správne porozumel zadaniu, že F označuje pole), nech $F=(G,+,*)$ je pole, potom $((G,+,*)(G,+)*)$ je vektorový priestor. $(G,+)$ je komutatívna grupa, pretože $(G,+,*)$ je pole. ďalej pre $\forall a,b,c, \in G$ platí $(a+b)*c= a*c + b...

3.2.23 ak pre $ \forall x \in (G, \circ )$ platí $x \circ x = e$ tak je to komutatívna grupa. Zadanie nám hovorí, že pre každý prvok patriaci grupe platí, že je sám sebe inverzný. $x \circ x = e$ zľava prenásobíme $a$ a potom aj sprava $a$, kde $ a \in G $ to je $ a \circ x \circ x \circ a = a \circ...

3.2.16 Nech $(g, * )$ je grupa a $a \in G$. Potom pre $ \forall n \in \mathbb{N}$ definujeme indukciou prvok $a^n$ nasledovne: $a^0 = e$ $a^{n+1} = a^n * a$ pre záporné $a^{-n} = (a^{-1})^n$. Dokážte, že pre ľubovoľné $a,b \in G$ a $m,n \in \mathbb{Z}$ platí: a) $a^{n+m} = a^n * a^m$ $a^{n+m} = e * ...

Neviem, či je vhodné zakladať nové vlákno, aby to tu zostalo prehľadné, preto sem prikladám riešenia iných úloh: 3.2.15 Dokážte, že konečná grupa s párnym počtom prvkov obsahuje prvok rôzny od neutrálneho taký, že $a \circ a=e$. Platí $e \circ e = e$ čiže e je sám sebe inverzný. Pre grupu platí, že ...