msleziak.com

c) $A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ $ch_A(x) = (-1-x)^2(-2-x)$, takže vlastné čísla sú $-1$ a $-2$. Pre číslo $-1$ dostávame podmienku $x_1 = -x_2$, príslušné vlastné vektory sú teda nenulové vektory z podpriestorov $[(-1,1,1)]$ a $...

Z Vety 2.3.5 vyplýva, že daná matica $A$ je kladne definitná. Potom na základe Vety 2.3.3 vieme, že existuje regulárna matica $P = \|p_{ij}\|$ taká, že $A = PP^T$. Prvok $a_{nn}$ teda môžeme vyjadriť ako $\sum_{i=1}^{n} p_{ni}^2$, čo znamená, že $a_{nn} \ge 0$. Ostáva nám dokázať, že $a_{nn} \ne 0$....

$\frac{1}{2}x_1^2 + 2x_2^2 - 3tx_3^2 + 2x_1x_2 + 2tx_2x_3 + 2x_1x_3$ $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 & 1 \\ 1 & 2 & t \\ 1 & t & -3t \end{pmatrix}$ $D_2 = \frac{1}{2}.2 - 1.1 = 1 - 1 = 0 \ngtr 0$ Bez ohľadu na voľbu $t$, nie všetky hlavné minory symetrickej matice $A$ sú...

$x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 5x_3^2$ $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0...