Prednášky LS 2013/14

[Martin Sleziak]

1. prednáška (20.2.):
Asymptotická hustota. Definícia, základné vlastnosti, príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu. Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (27.2.):
Asymptotická hustota. Ukázali sme vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$. Ako dôsledok sme dostali, že množina čísel, ktoré majú najviac $k$ prvočíselných deliteľov, má hustotu $0$.
Preskočil som niektoré ďalšie dôsledky tejto vety (konkrétne vetu 5.1.15 a 5.1.17) - tieto vety nebudem ani skúšať.
Ukázali sme ešte jedným spôsobom, že $d(\mathbb P)=0$.
Schnireľmanova hustota. Zatiaľ sme ju iba zadefinovali a ukázali sme si pár základných vlastností.

[Martin Sleziak]

3. prednáška. (6.3)
Schnireľmannova hustota. Ukázali sme si dva odhady pre $\sigma(A+B)$ (Schnireľmannova vetu a Mannovu vetu; druhú z nich len bez dôkazu.)
Logaritmická hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si vzťah medzi logaritmickou a asymptotickou hustotou a tiež príklad množiny, ktorá má logaritmickú hustotu a nemá asymptotickú hustotu.
Pritom sme si ukázali - ako pomocné tvrdenie - Stolzovu-Cesarovu vetu. Nejaké príklady, v ktorých sa dá použiť táto lema, sú aj v poznámkach. Ale viac (a zaujímavejších) príkladov, kde sa dá táto veta použiť nájdete na linkách uvedených tu. Spomenuli sme, že Stolz-Cesarova veta vyzerá v podstate ako "L'Hospital pre postupnosti". Nejaké ďalšie diskrétne analógie výsledkov pre intergrál/deriváciu nájdete tu.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (13.3):
Štatistická konvergencia. Definícia. Vzťah štatistickej konvergencie a konvergencie postupnosti aritmetických priemerov. Abel-Pringsheim-Olivierova veta a jej zovšeobecnenie pre štatistickú konvergenciu.
Pytagorovské trojice. Ukázali sme, ako vyzerajú všetky riešenia rovnice $x^2+y^2=z^2$ v prirodzených číslach.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (20.3.):
Lineárne diofantické rovnice. Pripomenuli sme si, ako sa riešia lineárne kongruencie a ukázali, že rovnakým spôsobom vieme riešiť lineárne kongruencie tvaru $ax+by=c$.
Rovnica $x^4+y^4=z^4$. Dokázali sme neexistenciu riešení rovníc $x^4+y^4=z^2$ a $x^4+y^2=z^4$ v prirodzených číslach.
Niektoré ďalšie rovnice. Ukázali sme neriešiteľnosť Mordellovej rovnice $y^2=x^3+k$ pre $k$ istého špeciálneho tvaru. Pozreli sme sa na rovnicu Pozreli sme sa na rovnicu $2^m-3^n=1$ a spomenuli sme aj Catalanovu hypotézu týkajúcu sa rovnice tvaru $a^x-b^y=1$.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (27.3.)
Deliteľnosť v oboroch integrity a euklidovské okruhy. Z tejto časti som len zadefinoval základné pojmy (deliteľnosť, asociovanosť, delitele jednotky, najväčší spoločný deliteľ). Definoval som euklidovský okruh a okruh s jednoznačným rozkladom. fakt, že každý euklidovský okruh je okruhom s jednoznačným rozkladom som len povedal bez dôkazu.
Okruhy $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$. O týchto okruhoch sme dokázali, že sú to Euklidovské okruhy. Povedali sme si, ako vyzerajú delitele jednotky v týchto okruhoch (k dôkazu sa vrátime nabudúce).
Rovnica $x^3+y^3=z^3$. Začali sme s dôkazom toho, že táto rovnica nemá riešenie v nenulových celých číslach, ktorý využíva okruh $\mathbb Z[\omega]$ (a jednoznačnosť rozkladu na ireducibilné prvky v tomto okruhu).

[Martin Sleziak]

7. prednáška (3.4.) Dokončili sme dôkaz neexistencie netriviálnych riešení rovnice $x^3+y^3=z^3$.

Koho by zaujímal dôkaz elementárnejšími metódami (bez využitia okruhu $\mathbb Z[\omega]$, tak je naznačený na Wikipédii, kde sa dajú nájsť aj odkazy na literatúru. (Je detailne spravený napríklad v Ribenboimovej knihe.

Podobne okruh $\mathbb Z[ i ]$ sa dá použiť na nájdenie všetkých riešení rovnice $x^2+y^2=z^2$. Dôkaz sa dá nájsť napríklad v knihe Andreescu, Andrica, Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations.

(Obe spomínané knihy môžem v prípade záujmu poskytnúť.)

[Martin Sleziak]

8. prednáška (10.4.)
Aditívne bázy. Ukázali sme, že ak $\sigma(A)>0$, tak $A$ je aditívna báza množiny $\mathbb N$.
Súčty dvoch štvorcov. Charakterizovali sme čísla, ktoré sa dajú napísať ako súčet dvoch druhých mocnín celých čísel.

[Martin Sleziak]

17.4. bolo dekanské voľno.

9. prednáška (24.4.)
Rozklady na súčet dvoch štvorcov. Ukázali sme si, koľko je rozkladov daného čísla na súčet 2 štvorcov. Pri tom sme využili, popis ireducibilných prvkov v okruhu $\mathbb Z\left[i\right]$ (ktorý sme aj dokázali).

[Martin Sleziak]

1. a 8. máj: prednášky odpadli

10. prednáška (15.5.)
Súčty 4 štvorcov. Dokázali sme, že každé prirodzené číslo sa dá zapísať ako súčet 4 štvorcov celých čísel. (Lagrangeova veta.) Popritom sme si povedali aj niečo o kvaterniónoch.
Mriežky. Zadefinovali sme mriežku a fundamentálnu oblasť. Ukázali sme, že ľubovoľné dve fundamentálne oblasti tej istej mriežky majú rovnaký objem. (Nabudúce pomocou objemu fundamentálnej oblasti už budeme môcť sformulovať Minkowského vetu.)