Prvoideál, ktorý nie je maximálny

[Martin Sleziak]

Na poslednej prednáške sme ukázali, že v komutatívnom okruhu s jednotkou je každý prvoideál maximálny. Padla aj otázka, či platí obrátená implikácia, ako kontrapríklad som dal $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}Z\times\{0\}$ v $\Z\times\Z$

Jednoduchší kontrapríklad môžeme nájsť, keď si uvedomíme, že z $R/(0)\cong R$ a z viet o tom, kedy je faktorový okruh oborovm integrity/poľom, vyplýva že ak $R$ je obor integrity, ktorý nie je poľom, tak $(0)$ je prvoideál, ktorý nie je maximálny.

Teda napríklad ideál $(0)$ v okruhu $(\Z,+,\cdot)$ je prvoideál, ktorý nie je maximálny. Ľahko to vidno aj priamo, bez odvolávania sa na predošlé vety. To, že ide o prvoideál, vidno z platnosti implikácie $ab=0$ \Ra $a=0$ $\lor$ $b=0$ v~okruhu $\Z$. Nie je maximálny, lebo napríklad $(0)\subsetneq(2)\subsetneq\Z$.

Neskôr si dokážeme, že v $\mathbb Z$ (resp. všeobecnejšie v ľubovoľnom okruhu hlavných ideálov) sa iný kontrapríklad ako $(0)$ nájsť nedá.