Prednášky LS 2013/14

[Martin Sleziak]

1. prednáška (18.2):
Grupy. Vlastne sme len stručne zopakovali veci z minulého semestra.
Podgrupy. Definícia a príklady. Kritérium podgrupy. Podgrupa generovaná danou množinou.
Homomorfizmy grúp, Definícia, príklady. Dokázali sme, že $f(e_G)=e_H$ a $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$, t.j. homomorfizmus zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (25.2):
Homomorfizmy. Príklady homomorfizmov. Obraz/vzor podgrupy. izomorfizmus. Zloženie homomorfizmov/izomorfizmov, ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
Cyklické grupy. Definícia $x^n$, základné vlastnosti. (Lemu 2.4.2 som nedokazoval - dôkazy by boli vlastne iba precvičením dôkazu matematickou indukciou). Rád prvku: Definícia, príklady.
Konečná neprázdna podmnožina je podgrupou, ak je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu.
Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$.
Z lemy 2.4.10, ktorá hovorí o tom, kedy platí $a^m=a^k$ sme stihli dokázať len jednu implikáciu v prvej časti (v prípade, že prvok $a$ má konečný rád).

[Martin Sleziak]

3. prednáška (4.3.)
Cyklické grupy. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$. Homomorfný obraz/podgupa cyklickej grupy je cyklická. (Pri týchto dvoch výsledkoch som preskočil dôkaz.) Grupa $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ je cyklická $\Leftrightarrow$ čísla $m$ a $n$ sú nesúdeliteľné.
Permutácie. Definícia cyklu. Rozklad na súčin disjunktných cyklov - existencia a jednoznačnosť.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (11.3):
Permutácie. Rád permutácie. Parita permutácie.
Cayleyho veta. Túto časť sme preskočili - zostáva vám na samostatné naštudovanie.
Ekvivalencie a rozklady. Zopakovali sme definície a tiež to, aký je vzťah medzi reláciami ekvivalencie a rozkladmi. (Toto by ste už mali poznať z iných predmetov.)
Rozklad grupy podľa podgrupy. Súčin podmnožín grupy a niektoré jeho základné vlastnosti. (Z lemy 3.2.2 sme na dnešnej prednáške spomenuli len vlastnosti (i) až (iv).) Zadefinovali sme rozklad ľavé triedy rozkladu. Dokázali sme, že $aH=bH$ $\Leftrightarrow$ $ab^{-1}\in H$. Ďalej sme dokázali, že ľavé triedy rozkladu $G$ podľa $H$ tvoria skutočne rozklad. (To isté platí pre pravé triedy.) Ako príklady rozkladov sme si ukázali rozklad $(\mathbb Z,+)$ podľa $3\mathbb Z=\{3z; z\in\mathbb Z\}$ a rozklad $(\mathbb R^2,+)$ podľa $\{(x,x); x\in\mathbb R\}$.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (18.3.)
Lagrangeova veta. Veľkosť a počet tried rozkladu.
Normálne podgrupy. Definícia normálnej podgrupy, ekvivalentné podmienky. (Preskočili sme príklad 3.3.5 - príklad podgrupy, ktorá nie je normálna.)
Faktorová grupa. Zatiaľ sme si povedali iba definíciu a ukázali, že pre normálnu podgrupu takto skutočne dostaneme grupu.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (25.3.)
Faktorové grupy. Príklady faktorových grúp. Veta o izomorfizme. (Druhú a tretiu vetu o izomorfizme som neprednášal, nebude ani na skúške.)
Okruhy. Zatiaľ sme stihli iba základné definície a niekoľko príkladov.

[Martin Sleziak]

7. prednáška (1.4.)
Okruhy. Ďalšie príklady. (Konkrétne $R_1\times R_2$ a $R^I$, kde $I$ je ľubovoľná indexová množina.) Podokruh. Okruh bez deliteľov nuly, obor integrity, teleso, pole.
Homomorfizmy, ideály, faktorové okruhy. Definícia homomorfizmu a jednoduché príklady. Ideály - definícia, príklady, jadro homomorfizmu je vždy ideál. Faktorový okruh - ukázali sme si, ako sa zadefinuje, že to je skutočne okruh a tiež že $R/I$ je komutatívny (okruh s jednotkou) ak $R$ je komutatívny (okruh s jednotkou a $R\ne I$.)

[Martin Sleziak]

8. prednáška (8.4.):
Faktorové okruhy. Veta o izomorfizme. Pre komutatívne okruhy s jednotkou platí: $R/I$ je obor integrity $\Leftrightarrow$ $I$ je vlastný prvoideál. $R/I$ je obor pole $\Leftrightarrow$ $I$ je maximálny ideál.
Okruhy polynómov. Stihli sme iba zadefinovať polynóm, stupeň polynómu a nejaké názvy základných pojmov. Ešte sme si ukázali na konkrétnom príklade sčitovanie a násobenie polynómov - nabudúce už o ňom chceme hovoriť všeobecne.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (15.4.):
Okruhy polynómov. Ešte sme sa zaoberali definíciou okruhu polynómov, t.j. zadefinovali sme ako sa polynómy sčitujú a násobia. Dôležité veci, ktoré sme si tam povedali sú vlastne tieto:

• Polynómy skutočne tvoria okruh.
• Do polynómov sa dá dosadzovať. (Máme dosadzovací homomorfizmus.)
• Polynómy a polynomické funkcie nie sú to isté. (Pre nekonečné polia by sme dostali izomorfné okruhy - ako si môžete prečítať v poznámkach k prednáške - na prednáške som to však nedokazoval. (Nebudem to ani skúšať.)

Veta o delení so zvyškom. Pre okruh polynómov $F[x]$ nad poľom sme vetu o delení so zvyškom dokázali. Pre okruh $\mathbb Z$ sme ju iba vyslovili.
Deliteľnosť v okruhoch. Definícia a základné vlastnosti deliteľnosti, asociované prvky, delitele jednotky. Dva prvky sú asociované práve vtedy, keď sa líšia iba vynásobením deliteľom jednotky.

[Martin Sleziak]

22.4 je rektorské voľno - prednáška nebude.